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1、4-2根轨迹的绘制法则平顶山学院计算机科学与技术学院K⋅∏
2、(s−z)
3、∏
4、(s−p)
5、—幅值条件*jimj=1ni=1=1(k=0,1,2L)幅值条件为充分条件，用于确定K*的值；相角条件为充要条件，用于绘制根轨迹。绘制根轨迹的条件：G(s)H(s)＝－1——根轨迹方程即：—相角条件穷远处。∏K*=证明：由幅值条件∏当K=0时，只有s=pi才能满足以上幅值条件，4.2.1常规根轨迹的绘制法则(180°根轨迹)法则1：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。一般在实际系统中，开环传函分子多项式次数m与分母多项式次
6、数n满足：m≤n，所以有n－m条根轨迹终止于无nmi=1j=1s−pis−zj*故根轨迹必从开环极点pi出发。满足以上幅值条件，故根轨迹必从终止于开环零点或无穷远处。当K*→∞时，只有s=zj或→∞(n≥m时)才能法则2：根轨迹的分支数等于max{m,n}，且根轨迹连续，并关于实轴对称。∑∑zjnmi=1j=1σa=pi−n−m渐近线与实轴正方向的夹角:ϕa=(2k+1)πn−m(k=0,1,2…n−m−1)法则3：根轨迹的渐近线。如果开环零点的数目m小于开环极点数n,即n＞m,则有(n-m)条根轨迹沿着某条渐
7、近线终止于无穷远处。渐近线可由下面的方程决定。渐近线与实轴的交点坐标:法则4：实轴上的根轨迹。实轴上某一区域，若其右边开环零、极点个数之和为奇数，则该区域是根轨迹。(180°根轨迹)证明：s1左边每个开环极点或零点提供的相角为0，s1右边每个开环极点或零点提供的相角为180º，每对共轭极点和零点提供的极点的总数为奇数的实轴线段才满足相角条件。jω0σz1相角之和为0或360º，互相抵消。p所以，只有其右边开环零点、2p1θ2θ1s1例1：已知系统的特征方程为试大致绘制其根轨迹。解:由题意，系统开环传递函数为：G
8、k(s)=G(s)H(s)=K*s(s+1)(s+2)(1)系统无开环零点；开环极点为p1＝0，P2＝－1，p3＝－2。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远处。(2)m=0，n=3，所以根轨迹条数为3条，且关于实轴对称。(3)根轨迹渐近线与实轴的交点为:nmdK*(6)σ02j−*jωjj22*σ0−j2(K=6)(K*=6)-2-1(4)实轴上的根轨迹区间为：(−∞,−2];[−1,0]渐近线与实轴的夹角为:(K*=6)(K*=6)法则5：根轨迹轨迹的分离点。两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又
9、立即分开的点，称根轨迹的分离点。一般常见的分离点多位于实轴上,但有时也产生于共轭复数对中。分离点必然是重根点,系统的闭环特征方程写为D(s)=1+G(s)H(s)上述方程是求取分离点或会合点的必要条件，是否确实为分离点或会合点，需要用相角条件进行判断。分离点或会合点可能在s平面上任何一点。(对于复杂的方程，多用试探法)则根据分离点必然是重根点的条件,可以得出分离点的确定公式:KK∴K=−s(s+1)(s+2)由=−(3s2+6s+2)=0=−1*s(s+1)(s+2)*例2：系统的特征方程为：求根轨迹分离点。解
10、：因为系统根轨迹方程为：*ds∴s1=−0.423;s2=−1.577(舍)0σ-1-2djωj2(K*=6)−j2(K*=6)dK法则6：根轨迹的起始角与终止角。根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称起始角。用表示。根轨迹进入开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称终止角。用表示。ϕziθpi出射角为：θpi=(2k+1)π+(∑ϕzjpi−∑θ)同理可以确入射角。k=0,±1,±2,L出射角θp1，一般情况下，开环复数极点Pk的z1mmj=1j=1(i≠j)证明：在根轨迹上靠近起点P1较远处取一点S
11、1,显然满足相角条件，有∠(s1−z1)−[∠(s1−p1)+∠(s1−p2)+∠(s1−p3)]=(2k+1)πjωs1θp1θp3p1p30σθp2p1φz1p1p2pjpi当S1无限趋近于P1点时，即∠(s1−p1)为P1点的jωz1p1θp1s1θp3p1p30σθp2p1φz1p1p2p4例3：已知系统开环传函为：K*(s+1.5)(s+2+j)(s+2−j)s(s+2.5)(s+0.5+j1.5)(s+0.5−j0.5)-1-210σ-1jω2p1p2p3z3z1-2z2试绘制概略根轨迹。解：•求系
12、统开环零点，并标于s平面上;(2)根轨迹的分支数为4条;(3)实轴上的根轨迹为:-3(-∞,-3],[-2.5,0];(4)渐近线n-m=1条；渐近线夹角180°；θp1=(2k+1)π+(∑ϕzjp1−∑θ=79)p1p30σp234j=1j=1(i≠j)=180o+(19o+59o+56.5o−90o−108.5o−37o)p4o-3z2pjp119°z137°z3-2θp1jω2
