连续函数的概念与性质ppt课件.ppt

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1、第六节连续函数的概念与性质一、函数的连续性自然界中的很多现象都是连续变化的.例如气温的变很小时,温度的变化也很小.这就是化就是一个很明显的例子.所谓的连续变化指的是:当时间变化很小时,气温的变化也很小.具体地说,若以表示时刻时的温度,当时间变化很小时,即连续函数的本质特征.1.函数的增量注：（1）∆x，∆y是一个整体记号；（2）∆x可正可负，∆y可正可负可为0；（3）必须指明在哪一点处的增量（即初值）．2.函数在一点处连续的定义定义1′′以上函数在一点处连续的三个定义是等价的．②函数f(x)在点x

2、0处连续和在该点处有极限的联系与区别③定义1刻画了函数在一点处连续的实质：自变量变化很小时，函数值的变化也很小．例6.1证由定义知3.单侧连续定理例6.2解右连续但不左连续,4.区间上的连续函数定义在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例6.3证给以增量相应函数的增量为(1)两个连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数．注：可推广到有限个函数的情形．5.初等函数的连续性例如,(2)单调连续函数的反函数仍是单

3、调连续函数.例如,反三角函数在其定义域内都是连续的.（3）连续函数的复合函数仍是连续函数．例常数函数、三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.（4）基本初等函数在其定义域内都是连续的.(均在其定义域内连续)（5）一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注:2.初等函数求极限的方法代入法.例6.4求极限解函数为初等函数,是定义区间内的点，小结（1）

4、3.连续函数的和差积商的连续性.5.复合函数的连续性.6.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.4.反函数的连续性.1.函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数;二、函数的间断点1.定义2．间断点的分类例6.5函数则函数在处连续.如果补充定义：在处没有定义，所以是函数的间断点．但是这里这里例6.6设函数但所以是函数的间断点．则函数在处连续.如果改变函数在处的定义：若是函数的间断点，定义而极限存在，则称点为函数的可去间断点.若点为函数的可去间断点，只须补充定义或

5、改变在点处的函数值，则可使其变为连续点．例6.7设函数则当时,有xyo左、右极限都存在但不相等，故极限不存在，所以是函数的间断点．1－1从图形中可以看到,这类函数的几何图形在间断点处有一个跳跃现象,因而把这一类间断点称为跳跃间断点.从图中可以看出,这类函数是不可能通过修改一点的函数值使其成为连续函数的.定义例6.8函数在点处没有定义,故称为函数的无穷间断点.例6.9故称为函数的振荡间断点．可去间断点与跳跃间断点的特征是,函数在这一点的左、右极限都存在，通常把这一类间断点称为第一类间断点,除此之外的

6、任何间断点称为第二类间断点.无穷间断点和振荡间断点就是第二类间断点．（1）第一类间断点：左、右极限都存在①可去间断点：左、右极限都存在且相等②跳跃间断点：左、右极限都存在但不相等（2）第二类间断点：不是第一类间断点的间断点即：左右极限中至少有一个不存在①无穷间断点：极限为无穷大②振荡间断点：产生无穷振荡间断点的分类：例解解例例6.10求出下列函数的间断点，并说明其类型，若是可去　　　　　间断点，则补充或改变函数的定义使它连续：解例6.10求出下列函数的间断点，并说明其类型，若是可去　　　　　间断点

7、，则补充或改变函数的定义使它连续：解则函数连续.补充定义：则函数连续.补充定义：③①②小结（2）间断点的分类与判别;第一类间断点:可去间断点，跳跃间断点.第二类间断点:无穷间断点，振荡间断点.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx例6.11解定义:（最大值和最小值）例如,三．闭区间上连续函数的性质定理(最大值和最小值定理)闭区间上的连续函数在该区间上一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立

8、.函数在闭区间上有间断点，它在该区间上有最小值但无最大值.例如（3）连续函数在闭区间上的最大值和最小值是唯一的,但取得最大值、最小值的点却不一定唯一．（4）定理是充分条件，不是必要条件．定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定是有界的.注：开区间上的连续函数不一定有界.证几何解释:MCmab(2)闭区间上的连续函数一定能取到介于最大值M和最小值m之间的任何一个值．注：(1)闭区间上的连续函数f(x)一定能取到f(a)和f(b)之间的任何一个值．定义:几何解释:例6.12