连续函数的概念与性质

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1、主要内容：一、函数的连续性二、函数的间断点三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质第一章函数与极限第八-九节连续函数的概念与性质一、函数的连续性1.函数的增量2.连续的定义例1证由定义2知3.单侧连续定理例2解右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如，多项式函数在R上是连续的。四则运算的连续性定理1例如,意义1.极限符号可以与函数符号互换;例3解定理2二、函数的间断点1.跳跃间断点例4解2.可去间断点例5解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为

2、连续点.如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点3.第二类间断点例6解例7解例8解内容小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx思考题1思考题1解答且1、一类；一类；二类。2、定理3基本初等函数在定义域内是连续的.定理4一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.三、初等函数的连续性初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内

3、没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意1注意2初等函数求极限的方法代入法.例9例10解解四.连续性在求极限中的应用利用函数y=f(u)在u=A点连续的定义，可以证明，如果特别：（1）当f(u)=au则（2）当f(u)=logau则(3)当f(u)=(μ为实数)，则特别：第二章中的对数函数、幂函数、指数函数求导公式的推导过程要用到下面几个极限例11.求下列极限（a＞0a≠1）解：（1）∵(重要极限Ⅱ)=lne=11、最大值和最小值定理定义:例如,五、闭区间上连续函数的性质定理3(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有

4、间断点,定理不一定成立.定理4(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证2、介值定理定义:几何解释:几何解释:MBCAmab证由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例11证由零点定理,例12证由零点定理,小结四个定理最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足,上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;但反之不成立.例但思考题2下述命题是否正确？思考题2解答不正确.例函数六、习题演练