微分方程概念ppt课件.ppt

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1、微分方程:表示自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式称为微分方程.例微分方程的定义常微分方程,偏常微分方程.本章内容。微分方程—积分问题—微分方程问题推广主要讨论：f在讨论的范围内连续。且用积分方法可解的方程（初等解法）。补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数以及初等函数的积分表示出来)微分方程的基本概念引例几何问题物理问题解解重点几种标准类型的一阶方程的求解可降阶的高阶方程的求解二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解难点求常系数非齐次线性方程的通解如何从实际问题中建立微分方程微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶

2、数称之.一阶微分方程高阶(n)微分方程例微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：三、主要问题-----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数（独立）与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.标准解法为微分方程的通解.分离变量法标准型特

3、点：经过适当整理，可使方程两边只含有一个变量和其微分证明：1。要证所确定隐函数是方程的解于是即所确定隐函数是方程的解。2。要证若y=y(x)是方程的解，则满足设y=y(x)是方程的解，则有两边对x积分，有从而，y=y(x)满足解分离变量两边积分，有得即令则通解为注意到C=0时，y=-1亦是方程的解，于是方程通解为，C为任意实数。说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.小结：求通解时，一般在分离变量时，因变形可能丢失个别解，有两种情况（1）让C任意就含在通解内；（2）不在通解内，其若是解称为奇解。说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,

4、方程y=–x及y=C因此以后可形式求解如下：解分离变量两边积分，有得于是为方程通解（C为任意实数）。原函数有对数时，可不加绝对值例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为齐次方程（可化为可分离变量）一、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.标准型例1求微分方程的通解解微分方程的通解为一阶线性微分方程标准型:称为齐次的.称为非齐次的.一、一阶线性方程例如线性的;非线性的.齐次线性方程的通解为1.先求齐次线性方程通解解法2.用常数变易法，求非齐次线性方程的解常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函

5、数的方法.作变换积分得一阶非齐次线性方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解解例1例2如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程所求曲线为解标准形式:方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.二、伯努利(Bernoulli)方程(可化为一阶线性方程的方程)解法:需经过变量代换化为线性微分方程.代入上式解例3方法推广：利用适当变量代换，化方程为可求解类型。解代入原方程原方程的通解为例4用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为解分离变量法得所求通解为三、小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程练习题1.求一

6、连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有利用公式可求出思考题方程是否为齐次方程?解方程两边同时对求导:原方程是齐次方程.练习:解法1分离变量即(C<0)解法2故有积分(C为任意常数)所求通解:（利用变换可化为可分离变量,具体变换则依问题而定）思考：思考与练习判别下列方程类型:提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程例2.求方程的通解.解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量,y为自变量的一阶线性方程求微分方程的通解.解