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1、7.4欧拉图与汉密尔顿图1欧拉图定义7-4.1：给定无孤立结点图G，若存在一条路，经过图中每边一次且仅一次，该条路称为欧拉路；若存在一条回路，经过图中每边一次且仅一次，该回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称作欧拉图。7.4欧拉图与汉密尔顿图2定理7-4.1无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或两个奇数度结点。证明1)先证必要性:G有欧拉路G连通且（有0个或2个奇数度结点）设G的欧拉路是点边序列v0e1v1e2…ekvk，其中结点可能重复，但边不重复。因欧拉路经过（所有边）所有结点，所以图G是连通的。对于任一非端点结
2、点vi，在欧拉路中每当vi出现依次，必关联两条边，故vi虽可重复出现，但是deg(vi)必是偶数。对于端点,若v0=vk，则deg(v0)必是偶数，即G中无奇数度结点。若v0≠vk，则deg(v0)必是奇数，deg(vk)必是奇数,即G中有两个奇数度结点。必要性证完。7.4欧拉图与汉密尔顿图2)再证充分性:(证明过程给出了一种构造方法)G连通且（有0个或2个奇数度结点）G有欧拉路(1)若有2个奇数度结点,则从其中一个结点开始构造一条迹,即从v0出发经关联边e1进入v1,若deg(v1)为偶数,则必可由v1再经关联边e2进入v2,如此
3、下去,每边仅取一次,由于G是连通的,故必可到达另一奇数度结点停下,得到一条迹L1:v0e1v1e2…ekvk。若G中没有奇数度结点,则从任一结点v0出发,用上述方法必可回到结点v0,得到一条闭迹。(2)若L1通过了G的所有边,L1就是一条欧拉路。(3)若G中去掉L1后得到子图G’,则G’中每个结点度数都为偶数,因为原来的图G是连通的,故L1与G’至少有一个结点vi重合,在G’中由vi出发重复(1)的方法,得到闭迹L2。(4)当L1与L2组合,若恰是G,得欧拉路,否则重复(3),可得闭迹L3,依此类推可得一条欧拉路。充分性证完由于有了欧
4、拉路和欧拉回路的判别准则，因此哥尼斯堡七桥问题立即有了确切的否定答案，因为从图中可以看到deg(A)＝5，deg(B)＝deg(C)＝deg(D)=3，故欧拉回路必不存在。3.定理7-4.1的推论无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G连通且所有结点度数皆为偶数。7.4欧拉图与汉密尔顿图7.4欧拉图与汉密尔顿图一笔画问题：就是判断一个图形能否一笔画成实质上就是判断图形是否存在欧拉路径和欧拉回路的问题。例如,下图(a)和(b)均可一笔画成,因为符合存在欧拉路径和欧拉回路条件。见303页图7-4.3(a)为欧拉路，有从v2到v3的一笔画。(b
5、)为欧拉回路，可以从任一结点出发，一笔画回到原出发点。V2V3V1V4V5V2V3V1V4V5311页(3)完全图Kn每个结点的度数为n-1，要使n-1为偶数，必须n为奇数。故当n为奇数时，完全图Kn有欧拉回路。练习311页3）5.定义7-4.2：给定有向图G，通过图中每边一次且仅一次的一条单向路（回路），称作单向欧拉路（回路）。可以将欧拉路和欧拉回路的概念推广到有向图中。6.定理7-4.2有向图G具有一条单向欧拉回路，当且仅当G连通，并且每个结点的入度等于出度。有向图G有单向欧拉路，当且仅当G连通，并且恰有两个结点的入度与出度不等，
6、它们中一个的出度比入度多1，另一个入度比出度多1。证明思路与定理7-4.1类似例1有向欧拉图应用示例：计算机鼓轮的设计。鼓轮表面分成24=16等份，其中每一部分分别用绝缘体或导体组成，绝缘体部分给出信号0，导体部分给出信号1，在下图中阴影部分表示导体，空白体部分表示绝缘体。根据鼓轮的位置，触点将得到信息4个触点a,b,c,d读出1101(状态图中的边e13),转一角度后将读出1010(边e10)。问鼓轮上16个部分怎样安排导体及绝缘体才能使鼓轮每旋转一个部分，四个触点能得到一组不同的四位二进制数信息。即产生全部的各不相同的4位二进制数
7、，共16个，且可以由此变彼不重复的循环变化。即寻找一条有16条边的欧拉回路01111111100000001110abcd设有一个八个结点的有向图，如下图所示。其结点分别记为三位二进制数{000，001，……，111}，设ai{0,1}，从结点a1a2a3可引出两条有向边，其终点分别是a2a30以及a2a31。该两条边分别记为a1a2a30和a1a2a31。按照上述方法，对于八个结点的有向图共有16条边，在这种图的任一条路中，其邻接的边必是a1a2a3a4和a2a3a4a5的形式，即是第一条边标号的后三位数与第二条边的头三位数相同。
8、由于图中16条边被记为不同的二进制数，可见前述鼓轮转动所得到16个不同位置触点上的二进制信息，即对应于图中的一条欧拉回路。000e1=0001e0=0000001e3=0011e2=0010010e5=0101e4=01
