第五章固体的能带ppt课件.ppt

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1、第五章固体的能带§5.1单电子近似§5.2布洛赫定理§5.3近自由电子近似§5.4紧束缚近似§5.5扫描隧穿显微术§4.6等离子振荡§5.1单电子近似三步曲固体由大量周期性排列的原子构成固体能带理论的主要任务就是用量子力学研究在大量带正电、周期性排列的离子实背景中价电子的运动状态,包括电子的本征能量和本征函数等。这原本是一个复杂的多体问题,但在经过适当的近似处理后,可以将如此复杂的多体问题转化为一个在周期势场中运动的单电子问题。离子实:原子核和内层结合能高的芯电子价电子:原子外层结合能低的电子描述整个体系的哈密顿算符为NZ个电子的动能和相互间库仑作用能N个

2、离子实的动能和相互间库仑作用能离子实和电子间的库仑作用能+自旋和粒子磁矩间相互作用其中ri和Rn分别表示第i个电子和第n个离子实的位置矢量,m和M分别表示电子和离子实的质量原则上只要知道系统的哈密顿算符,由薛定谔方程就可得到系统的本征能量和本征态,但事实上该方程的直接求解是不可能的电子的运动是相互关联的,每个电子的运动都要受到其它电子运动的牵连因此,需要做一些假设和近似即使不考虑自旋,这是一个N的量级为1023/cm3的(N+NZ)体问题其中绝热近似平均场近似周期场近似5.1.1绝热近似首先注意到:由于离子实的质量远大于电子的质量,两者之间存在几个量级的差

3、别,意味着离子实的运动相对于电子而言极其缓慢(固体中电子的运动速率的量级为106m/s,而离子实的运动速率一般为103m/s)因此,当我们只关注电子体系的运动时,可以认为离子实固定在其瞬时位置Rn上,这便是所谓的绝热近似绝热近似是玻恩和奥本海姆在讨论分子中电子状态时引入的,所以也称这种近似为玻恩-奥本海姆近似。在绝热近似下,相当于只讨论离子实固定在瞬时位置时NZ个电子体系的问题,描述这NZ个电子体系的哈密顿算符为5.2.2哈特里(Hatree)近似在绝热近似下,描述NZ个电子体系的哈密顿算符为库仑关联项Vee(ri,rj)库仑作用使得电子运动彼此关联,难于

4、处理采用平均场近似代替?具体做法再经过平均场近似,描述NZ个电子体系的哈密顿算符便成为若令实际上就是第i个电子的哈密顿算符,味着描述NZ个电子体系的哈密顿算符可表示成NZ个单电子哈密顿算符之和。对第i个电子,其本征能量和和本征态可由薛定谔方程确定而NZ个电子体系的薛定谔方程则为NZ个电子体系的波函数其中:5.1.3周期场近似单电子的Hamilton算符V(r)为单电子势由于晶格的周期性,任何物理量具有和晶格相同的周期性。因此:电子与其它电子库仑作用离子实与电子的库仑作用势周期性近似表明:一个重复单元中任一处的单电子势,同另一个重复单元中相应位置的单电子势相

5、同,这是晶体中单电子势最本质的特点。§5.3布洛赫定理本节从单电子势具有晶格周期性出发,讨论单电子薛定谔方程解的特点。6.2.1平移算符及其本征值晶体中的电子之所以感受到和晶格相同周期性的势场,其原因是由于晶体本身具有平移对称性。平移算符定义对任意函数f,经平移操作后,得到的结果和该函数在(r+Rl)处的结果相同。则平移算符的本征值方程比较两方程则有由周期性边界条件另一方面,若沿a1方向进行1次平移操作,显然有沿a1方向进行2次平移操作,则有…….沿a1方向进行N1次平移操作,则有同理,若沿a2方向进行N2次平移操作,有:若沿a3方向进行N3次平移操作,有

6、:由周期性条件有:即k为倒空间矢量,可表示为:mi为任意整数。其中:按平移操作算符定义有:哈密顿算符中的微分算符与坐标原点的平移无关5.2.2布洛赫定理单电子的势场具有和晶格相同的平移周期性因此,单电子的哈密顿算符具有和晶格相同的平移周期性,即平移算符与哈密顿算符是对易的。证明如下:由于f为任意函数,因此有意味着平移操作算符和哈密顿算符是相互对易的。按量子力学,两对易算符有共同的本征函数。因此,如果是平移操作算符的本征函数,则也是哈密顿算符的本征函数。由前面的讨论可知现在我们定义一个函数将平移操作算符作用于该函数后得到表明所定义的函数具有和晶格相同的平

7、移周期性由该式我们因此可以将晶体中电子的波函数写成式中的平面波因子描述的是晶体电子的共有化运动,即电子可以在整个晶体中自由运动而周期函数的因子则描述电子在原胞中的运动,取决于原胞中电子势场意味着周期性势场中运动的电子其波函数是按晶格周期函数调幅的平面波的形式布洛赫波函数用布洛赫波函数描述的电子称为布洛赫电子布洛赫的命题和结论称为布洛赫定理。布洛赫定理:证明:布洛赫定理的另一表述推论:§5.2.3能量在倒空间中的对称性可见,两个函数均是平移算符属于相同本征值的本征函数,因此,平移算符对这两个波函数有相同的效果比较平移算符作用于波矢为的波函数和波矢为的波函数(

8、1)能量是k的周期函数,周期为倒格子矢量,即:(2)能量是k的偶函

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