第6章插值与逼近ppt课件.ppt

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1、要解决的问题：构造出既能反映f(x)的特征、又比较简单的函数来代替f(x)。第6章插值与逼近(Interpolationandapproximation)方法：插值法和拟合。设函数在区间上有定义，且已知在点上的值，函数，若存在一简单使称为插值节点（interpolationnode），包含节点的区间[a,b]称为插值区间（interpolationinterval），求插值函数的方法称为插值法.成立，就称为的插值函数(Interpolationfunction)，点只讨论插值函数为代数多项式的情形，即插

2、值从几何上看，代数插值法就是确定曲线，使其通过给定的个点，并用它近似已知曲线.多项式插值的几何意义定理1在次数不超过的多项式集合中，满足插值条件的插值多项式是存在而且惟一的.注：该定理表明用什么方法求出的插值多项式结果都是一样的。线性插值已知(x0,y0),(x1,y1)，求满足插值条件L1(x0)=y0,L1(x1)=y1的插值多项式L1(x).变形：插值基函数1010特点:假定插值节点为，，，要求二次插值多项式几何上是通过三点的抛物线.可以用基函数的方法求的表达式，使它满足是二次函数，且在节点上满足

3、条件此时基函数二次插值多项式利用，，，显然，将,，代入上式,立即得到二次插值多项式它满足条件得拉格朗日插值多项式将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过个节点的次插值多项式.根据插值的定义应满足就称这个次多项式为节点上的次插值基函数.插值基函数于是，满足插值条件的拉格朗日插值多项式可表示为优点：形式对称，便于记忆，便于应用和编程。牛顿插值问题：利用插值基函数得到的拉格朗日插值多项式有何优缺点？优点：结构紧凑，便于理论分析，易于编程求解。缺点：当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发

4、生变化.问题：如何改进？（3.1）其中为待定系数，确定.为了克服这一缺点，可把插值多项式表示为如下便于计算的形式:可由个插值条件差商计算可列差商表如下（表2-1）.差商表牛顿插值多项式显然，由前式确定的多项式满足插值条件，且次数不超过，其系数为它就是形如（3.1）的多项式，分别称为在处以为步长的向前差分，向后差分及中心差分.符号，，分别称为向前差分算子，向后差分算子及中心差分算子.差分多项式设函数在等距节点上的值为已知，这里为常数，称为步长.利用一阶差分可定义二阶差分为一般地可定义阶差分为称公式Newt

5、on向前差分插值公式这里的t=(x-x0/h).利用这些性质,可将Newton公式进一步简化为分段线性和二次插值，收敛性好，但光滑性不够理想。为了得到光滑度更高的插值函数，引入样条插值函数。在数学上，它表现为近似于一条分段的三次多项式，它要求在节点处具有一阶和二阶连续导数。三次样条插值上是三次多项式，其中是给定节点，若函数且在每个小区间则称是节点上的三次样条函数.若在节点上给定函数值（1）则称为三次样条插值函数.定义1并成立三次样条函数的概念由于在上二阶导数连续，所以在节点处应满足连续性条件这些共有个条

6、件，再加上本身还要满足的个插值条件，共有个条件，（2）通常可在区间端点上各加一个条件给定函数节点用三次样条插值求取直接上机计算可求出在表2-6所列各点的值.例现将三种插值结果画在一起：实际中遇到的问题：（1）反映变量之间内在规律的函数关系f(x)，往往是通过实验或观测得到的一张函数表，其表达式未知；（2）函数存在解析表达式，但由于形式过于复杂而不易使用；因此需要构造出既能反映f(x)的特征、又比较简单的函数来代替f(x)。插值法是解决此类问题的一类方法。第6章插值与逼近(Interpolationand

7、approximation)一、线性插值与二次插值已知(x0,y0),(x1,y1)，求满足插值条件L1(x0)=y0,L1(x1)=y1的插值多项式L1(x).变形：插值基函数1010特点:假定插值节点为，，，要求二次插值多项式几何上是通过三点的抛物线.可以用基函数的方法求的表达式，使它满足是二次函数，且在节点上满足条件此时基函数二次插值多项式接下来讨论满足上式的插值基函数的求法.以求为例，由插值条件，它应有两个零点及，可由插值条件定出其中为待定系数，于是可表示为同理利用，，，显然，将,，代入上式,立

8、即得到二次插值多项式它满足条件得二、拉格朗日插值多项式将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过个节点的次插值多项式.根据插值的定义应满足先定义次插值基函数.为构造，就称这个次多项式为节点上的次插值基函数.定义6.2若次多项式在个节点上满足条件于是，满足插值条件的拉格朗日插值多项式可表示为与前面的推导类似，次插值基函数为优点：形式对称，便于记忆，便于应用和编程。由题意,取用线性插值计算，解取由公式已知f(100)=10,f(121)=11