高考数学考点突破——计数原理(理科专用)：二项式定理.doc

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1、二项式定理【考点梳理】1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.2．二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C增减性二项式系数C当k＜(n∈N*)时，是递增的当k＞(n∈N*)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项与取最大值3．各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋

2、C＋C＋…＋C＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.【考点突破】考点一、展开式中的特定项或特定项的系数【例1】(1)的展开式中，常数项是(　　)A．－B．C．－D．(2)已知的展开式中含x的项的系数为30，则实数a＝________.[答案](1)D(2)－6[解析](1)Tr＋1＝C(x2)6－r＝Cx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，∴常数项为C＝.(2)的展开式的通项为Tr＋1＝C()5－r·＝(－a)rC·x.依题意，令5－2r＝3，得r＝1，∴(－a)1·C＝30

3、，解得a＝－6.【类题通法】1．求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．2．已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．【对点训练】1．(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________(用数字作答).[答案]10[解析]由(2x＋)5得Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－rCx5－，令5－＝3得r＝4，此时系数为10.2．已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.[答案]4[解析](1＋3x)n的

4、展开式的通项为Tr＋1＝C(3x)r，令r＝2，得T3＝9Cx2，由题意得9C＝54，解得n＝4.【例2】(1＋x)6的展开式中x2的系数为(　　)A．15B．20C．30D．35[答案]C[解析]因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4，因为C＋C＝2C＝2×＝30，所以(1＋x)6展开式中x2的系数为30.【类题通法】求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．

5、(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2．(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．【对点训练】(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________.[答案]40[解析]由(2x＋)5得Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－rCx5－，令5－＝3得r＝4，此时系数为10.【例3】(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)A．10B．20C．30D．60[答案]C[解析](x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋

6、1＝C(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30，故选C.【类题通法】求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤【对点训练】(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________.[答案]40[解析]由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为x·C(2x)2(－y)3＋y·C(2x)3(－y)2＝40x3y3，则x3y3的系数为40.考点二、二项式系数的和与各项的系

7、数和【例4】(1)若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为(　　)A．－27CB．27CC．－9CD．9C(2)(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则

8、a0

9、＋

10、a1

11、＋

12、a2

13、＋

14、a3

15、＋

16、a4

17、＋

18、a5

19、＝(　　)A．1024B．243C．32D．24[答案](1)B(2)A[解析](1)令x＝1得2n＝512，所以n＝9，故的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x2)9－r＝(－1)rC·39－rx18－3r，令18－3r＝0得r＝6，所以常数项为T7＝(－1)6C·33＝27C.(2)令x＝－1

20、得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝

21、a0

22、＋

23、a1

24、＋

25、a2

26、＋

27、a3

28、＋

29、a4

30、＋

31、a5

32、＝[1－(－