高等数学下册 chap2(导数与微分)2-4(函数的微分).ppt

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1、一、微分的概念三、微分基本公式和运算法则四、函数的局部线性化二、函数可微性与可导性之间第二节函数的微分的关系五、微分的实际意义正方形金属薄片受热后面积的改变量.1.问题的引出实例线性函数(linearfunction)一、微分的概念的线性(一次)函数,很小时可忽略.的高阶无穷小,再如,既容易计算又是较好的近似值一定条件,线性函数,对一般函数则无论在理论分析上还是在实际则函数的增量可以表示为如果存在这样的近似公式,应用中都是十分重要的.定义2.微分的定义如果则称函数可微(differentiable),记作微分(differential),并称为函数由定义知:(微分的

2、实质)满足什么条件的函数是可微的呢？微分的系数A如何确定呢?微分与导数有何关系呢?下面的定理回答了这些问题.定理证(1)必要性即有二、函数可微性与可导性的关系(2)充分性求导法又叫微分法从而其微分一定是定理即有导数称为微商称为函数的微分,记作称为自变量的微分,记作注例解几何意义(如图)微分的几何意义对应的增量,增量时;是曲线的纵坐标就是切线纵坐标求法1.基本微分公式三、微分基本公式与运算法则计算函数的导数,乘以自变量的微分.2.运算法则例解例解结论微分形式的不变性3.复合函数的微分法此结论用于求复合函数的导数,有时能简化运算.无论x是自变量还是中间变量,函数的微分形

3、式总是例解法一用复合函数求导公式法二用微分形式不变性在计算中也可以不写中间变量,直接利用微分形式不变性.例例解例解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.例解四、函数的局部线性化由几何意义，即用线性函数近似代替非线性函数例解常用近似公式证明例解五、微分的实际意义微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:★★小结从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是

4、完全不同的概念.★导数与微分的区别:★微分的基本思想以直代曲即用线性函数近似代替非线性函数★熟记微分公式、用一阶微分形式不变性求微分