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《高等数学下册 chap2(导数与微分)2-3(隐函数及参数方程确定的函数的导数).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、隐函数的求导法三、参数式函数的求导法四、相关变化率二、对数求导法第二节隐函数和参数式函数的求导法定义1.隐函数的定义所确定的函数称为隐函数(implicitfunction).的形式称为显函数.隐函数的可确定显函数例开普勒方程开普勒(J.Kepler)1571-1630德国数学家,天文学家.的隐函数客观存在,但无法将表达成的显式表达式.显化.一、隐函数的求导法2.隐函数求导法隐函数求导法则用复合函数求导法则,并注意到其中将方程两边对x求导.变量y是x的函数.隐函数不易显化或不能显化？如何求导例解则得恒等式代入方程,将此恒等式两
2、边同时对x求导,得因为y是x的函数,是x的复合函数,所以求导时要用复合函数求导法,虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y.允许在的表达式中含有变量y.一般来说,隐函数求导,求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数从中解出即可.于是y的函数便是x的复合函数,的方程.y是x的函数,例解法一利用隐函数求导法.将方程两边对x求导,得解出得法二从原方程中解出得先求x对y的导数,得再利用反函数求导法则,得例解切线方程法线方程通过原点.例解将上面方程两边再对或解解得利用隐函数求导法
3、来证明曲线族的正交问题.如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直,正交轨线.称这两条曲线是正交的.如果一个曲线族中的每条曲线与另一个曲线族中的所有与它相交的曲线均正交,称这是正交的两个曲线族或互为正交曲线族在很多物理现象中出现,例如,静电场中的电力线与等电位线正交,热力学中的等温线与热流线正交,等等.练习证即证.两条曲线在该点的现只须证明切线斜率互为负倒数.作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数.对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单.适用于方法先在方程两边取对数,-----
4、---对数求导法然后利用隐函数的求导法求出导数.二、对数求导法例解等式两边取对数得隐函数两边对x求导得等式两边取对数得例解等式两边取对数得注复合函数改写成如上例则只要将幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导,有些显函数用对数求导法很方便.例如,两边取对数两边对x求导练习解答等式两边取对数解答三、参数式函数的求导法例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?所以,单调连续的反函数由复合函数及反函数的求导法则得例解所求切线方程为例解可由切线的斜率来反映.即设由方程确定函数求方程组两边对t求导,得故例解若曲线由极坐标方程给出,利用可化
5、为极角参数方程,因此曲线切线的斜率为例解将曲线的极坐标方程转换成则曲线的切线斜率为所以法线斜率为又切点为故法线方程为即参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助参数方程处理问题的方法,在高等数学中将多次遇到.为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式对t求导相关变化率求出未知的相关变化率四、相关变化率相关变化率之间的关系式代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)例解(1)(2)仰角增加率(3)练习设自开始充气以来的时间t,解体积为在t时刻气体的半径为小结隐函数求导法则工具:复合函数链
6、导法则;对数求导法对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导.参数方程求导注意:变量y是x的函数.将方程两边对x求导.工具:复合函数链导法则、反函数的求导法则.相关变化率通过函数关系确定两个变化率之间的解法:三个步骤.关系,从其中一个变化率(已知)求出一个变化率;一般地1.对数求导法可得2.写为指数形式按复合函数求导法则求导思考题(是非题)正确解答试问对吗?非如:注求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义,这样对求更高阶的导数也容易处理.例解
