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1、三重积分即(1)分割用一组曲面网将有界闭区域Ω任意分成n个小闭区域(2)取近似在每个小闭区域ΔΩi上任取一点(3)求和整个物体质量的近似值(4)取极限求物体质量的精确值四步:当各小闭区域直径中的最大值λ趋于零时,2设f(x,y,z)是空间有界闭区域Ω上的如当各小闭区域直径中的最大值在每个1.三重积分的定义将闭区域Ω任意分成n个小闭区域其中并作和作乘积有界函数.也表示它的体积.表示第i个小闭区域,上任取一点二、三重积分的概念(define)定义9.2(1)(2)(3)(4)3记为函数f(x,y,z)在闭区域Ω上的三重积分.
2、λ趋于零时这和的极限总存在,则称此极限为即体积元素43.三重积分的几何意义设被积函数连续函数或分片连续函数一定可积2.三重积分存在性则区域Ω的体积为在Ω上是可积的.当f(x,y,z)的三重积分存在性时,(existence)称f(x,y,z)5对称性质补充三重积分4.三重积分的性质与二重积分的性质类似.其中Ω1为Ω在xOy坐标面的上半部区域.(property)若区域Ω关于xOy坐标面对称,f(x,y,z)为z的奇函数,f(x,y,z)为z的偶函数,则称f关于变量z的奇函数.(偶)6或而得结果为零.例??0则7例？0？若
3、域Ω关于两个坐标面yOz,xOz都对称,其中Ω2是Ω在第一,五卦限部分的区域.Ω2是Ω在一,五卦限部分的区域,则f同为x,y的奇函数,f同为x,y的偶函数,8研究生考题,选择,3分C则()成立.练习9若域Ω关于三个坐标面都对称,其中Ω3是Ω在第一卦限部分的区域.例？0？Ω3是Ω在第一卦限的部分,则f同为x,y,z的奇函数,f同为x,y,z的偶函数,10若Ω关于原点对称,其中Ω4为Ω中关于原点对称的一半区域.f为x,y,z的奇函数,f为x,y,z的偶函数,11三、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分故直角坐标系下的体
4、积元素为在直角坐标系下三重积分可表为在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面的来划分Ω,直角坐标系中将三重积分化为三次积分.思想是12解由于V是长方体,故例三次积分的上、下限都是常数,计算三重积分其中V是长方体先一后二法13投影法先一后二法如图,闭区域Ω在xOy面上的投影为闭区域D,过点作直线,从z1穿入,从z2穿出.(如先z后xy)14X－型再计算F(x,y)在闭区域D上的二重积分得则先将x,y看作定值,将f(x,y,z)只看作z的函数,因为15如何写出当D为Y–型闭域时,?注三次积分的公式三重积分化为交不多两点情形.
5、这是平行于z轴且穿过闭区域Ω内部的直线与闭区域Ω的边界曲面S相16所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积和积分域Ω选取适当的三次积分进行计算.解题时,要依据具体的被积函数f(x,y,z)同样,也可以把积分域Ω向yOz、zOx面投影.分(累次积分).17以上计算三重积分的方法按先“单积分”又由于此方法是先把积分区域Ω向坐标所以又称其为“先一后“二重积分”的步骤,后二”的积分次序.故该方法也称为坐标面投影法.面投影,且二重积分的积分区域就是Ω的投影区域,18解化三重积分为三次所围成的闭区域.其中积分区域为由曲面得交线投影
6、区域积分,练习19解化三重积分为三次例所围成的闭区域.其中积分区域为由曲面消z得交线投影区域积分,确定积分限的口诀:含z方程为上、下面,无z、有z消z围D线.20例求解的原函数不是初等函数,应先对x积分后对yz积分一定要交换积分次序.(先一后二)21投影法(先一后二法)计算三重积分?例解其中Ω为三22截面法(先二后一法)解计算三重积分例原式=其中Ω为三23截面法(红色部分)先二后一法截面法的一般步骤(1)投影,得投影区间[c1,c2];(2)(3)计算二重积分(4)最后计算定积分得截面Dz;其结果为z的函数F(z);(如
7、先xy后z)把积分区域Ω向某轴(如z轴)用过z轴且平行xOy的平面去截Ω,24即当被积函数仅与变量z有关,截面法的公式还有两个.?用上公式简便.希望自己推注且截面Dz易知时,25对上述公式可作一直观的物理解释:设f(x,y,z)是一物体的密度函数,是Ω中位于点(x,y)处的竖直细棒的质量,而二重积分则表示将诸细棒的质量累积成整个物体的质量则先一后二法26对上述公式可作如下物理解释:物体的密度函数,是截面Dz的质量,则二重积分则表示将诸截面的质量累积成整个物体的质量设f(x,y,z)是一而定积分先二后一法27计算其中Ω为椭
8、球体:解先二后一法练习28练习提示已知椭球V:内点(x,y,z)处质量的体密度为:求椭球的质量.29解因为而其中先二后一法(截面法)30由对等性知因此所以31解极坐标所围立体体积V.例V在xOy面的投影域Dxy为32规定直角坐标与柱面坐标的关系为就叫点M的柱面坐标.2.利用柱面坐标计算三重积分cylindricalc
