电磁场与电磁波-静态场边值问题.ppt

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1、第四章静态场边值问题的解法边值问题的分类唯一性定理直角坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法镜像法有限差分法主要内容4.1边值问题的分类第一类边值问题：已知位函数在全部边界面上的分布值边值问题是指存在边界面的电磁问题。根据给定边界条件对边值问题分类：狄里赫利问题（Dirichlet）第二类边值问题：已知位函数在全部边界面上的法向导数值第三类边值问题：已知一部分边界面上的位函数值,和另一部分边界面上位函数的法向导数值．诺埃曼问题（Neumann）混合边值问题边值问题框图一、二类边界条件的线

2、性组合，即已知场域边界上各点电位的法向导数已知场域边界上各点电位值第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件边值问题参考点电位有限值场域边界条件分界面衔接条件自然边界条件微分方程边界条件解析法数值法实测法模拟法定性定量边值问题研究方法计算法实验法作图法有限差分法有限元法边界元法矩量法模拟电荷法积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法数学模拟法物理模拟法边值问题研究方法框图唯一性定理：在场域V的边界面S上给定位函数或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内的解唯一。唯一性定理的意义指出了静态场边值问题具有唯

3、一解的条件；为静态场边值问题求解方法提供了理论根据，为结果正确性提供了判据；唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程(泊松方程)的理论根据。4.2唯一性定理（UniqunessTheorem）4.3直角坐标系中的分离变量法分离变量法是数理方程中应用最广泛的一种方法，它适用于求解具有理想边界条件的典型边值问题。分离变量法是通过偏微分方程求解边值问题。其基本思想是：首先要求给定边界面与坐标面相合，或分段相合；其次要求待求偏微分方程的解可表示为若干个函数的乘积，其中的每个函数分别仅是一个坐标变量的函数。这样，通过分离变量可将一

4、个偏微分方程转化为多个常微分方程来求解。分离变量法解题的一般步骤：根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值问题（微分方程和边界条件）；分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程；解常微分方程，并叠加各特解得到通解；利用给定的边界条件确定积分常数，最终得函数的解。在直角坐标系中，拉普拉斯方程为：直角坐标系中的分离变量法设可以表示为三个函数的乘积，即：当时代入上式，得其中为分离常数，且※分析与讨论上式中每项都只是一个变量的函数，其成立的唯一条件是三项中每项都是一个常数，故有当时通解：当时令其中为

5、实数通解：或者同理可以求得和利用给定的边界条件确定积分常数，最终得函数的解。双曲函数例4.3-1横截面如图所示的导体长槽，上方有一块与槽相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为a×b，槽体的电位为零，盖板的电位为U(x)，求此区域内的电位。在区域0

6、分离变量法当时因为所以故：当时讨论两种情况和分离变量法当左右两边同乘以，并在区间(0，a)积分又有因此m=1,3,5,…分离变量法对应系数相等当因此分离变量法分离变量法的求解步骤选择适当的坐标系,确定变量的个数；写出方程的通解；利用自然边界条件化简通解；利用电磁边界条件建立待定系数的方程并解方程,求出待定系数。4.4圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标中的拉普拉斯方程（）为仅讨论二维平面场，即与坐标变量无关的情况令，代入上式得化简得令第二项等于（）※分析与讨论当时当时1讨论分离变量法由于是周期性函数，即所以，且为正整数

7、，即。当时当时2讨论欧拉方程令代入上式，整理得：通解例4.4-1一根半径为a、介电常数为的无限长介质圆柱体置于均匀外电场中，且与相垂直。设外电场方向为x轴方向，圆柱轴与z轴重合（如图所示），求圆柱内、外的电位函数。解：选择圆柱坐标系。设园柱内、外的电位分别为、，并假设零电位点在坐标原点。显然、均是与z无关的二维场，都满足拉氏方程：分离变量法则，圆柱坐标系中二维场的通解为：令由题意知，场分布对称于x轴，即：故通解中只能包含余弦项即：当时，其中：当时，应为有限值，即中不能有项。当时，由介质分界面条件知。切向：法向：联立

8、方程（1）、（2）解得：介质圆柱体内、外的电场强度为：边界条件：1例4.4-1将半径为的无限长导体圆柱置于真空中的均匀电场中，柱轴与垂直，求任意点的电位。2解：12分离变量法分离变量法4.5球坐标系中的分离变量法球坐标中的拉普拉斯方程（）为仅讨论场问题与坐标无关时的情形令，代入上式并整理得令两项分别等于常数和引入一个新的自变量则有－－勒让德方程当时，勒让德方