《静态场的边值问题》PPT课件

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1、第五章静态场的边值问题静态场边值问题的基本概念分离变量法有限差分法5.1静态场边值问题的基本概念静电场、恒定电场和恒电磁场都是时不变场，统称静态场。静态场的边值问题：给定某一空间V，其边界为S，已知空间V内源的情况，以及边界S上场的情况，求给定空间内的场。区域内的场满足帕松方程或拉普拉斯方程。边界上的场的情况可由边界条件给出。静态场中的边值问题，都可以归结为在给定的边界条件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程。根据唯一性定理，满足给定边值的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一确定的。三类边值：狄里赫利、纽曼和混合边值。已知场域边

2、界上各点电位值边值问题框图自然边界条件参考点电位有限值边值问题微分方程边界条件场域边界条件分界面衔接条件第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合，即求解静态场的边值问题方法有：解析法、数值算法和实验研究法。解析法：用直接或间接方法求出待求位函数在整个域内所满足的函数表达式。如分离变量法、镜像法、格林函数法等。数值计算法：求出一组即满足给定边值、又满足泊松（或拉普拉斯）方程、在各域内各个离散点的函数值的方法。如有限差分法、有限元法等。实验研究法：用实验装置模拟实

3、际的物理场方程及给定边值，并测量出相应的待求函数的函数值的方法，如导电纸模拟法、电解槽模拟法等。边值问题研究方法计算法实验法作图法解析法数值法实测法模拟法定性定量积分法分离变量法镜像法、电轴法格林函数法保角变换法有限差分法有限元法边界元法矩量法模拟电荷法数学模拟法物理模拟法边值问题研究方法框图5.2分离变量法分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题。一般情况下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常

4、数，得到边值问题的解。5.2.1解题的一般步骤：根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值问题（微分方程和边界条件）；分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程；解常微分方程，并叠加各特解得到通解；利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。下面以拉氏方程在直解坐标系、圆柱坐标系和球坐标系的分离变量法为例说明具体的计算过程。5.2.2直角坐标系中的分离变量法如果待求场域的边界面是平面，而且这些平面相互平行或相互垂直时，可选择直角坐标系。kx,ky,kz称为分离常数。上述三个常系数

5、微分方程的解的形式由分离常数的取值决定。拉氏方程的通解是所有可能情况的线性组合。双曲函数解的形式:例5-1一长直金属槽的长度方向上平行于Z轴，其横截面如图5-1所示。其侧壁与底面电位均为0，而顶盖电位分别以（1）（2）求槽内电位的解。解本例是一个矩形域的二维场问题。在直角坐标系下，位函数的边值问题为abyx代入边界条件代入边界条件例5-2代入可得例5.2.1图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。解：选定直角坐标系（D域内）（1）（2）（3）

6、（4）(5）边值问题图5.2.1接地金属槽的截面2)分离变量代入式（1）有根据可能的取值，可有6个常微分方程：设称为分离常数,可以取值3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。图5.2.2双曲函数d）比较系数法：当时，（D域内）当时，满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但满足给定边界条件的解是唯一的。根据经验也可定性判断通解中能否舍去或项。若，利用sin函数的正交性来确定。等式两端同乘，然后从0到a对x积分图5.2.3接地金属槽内的等位线分布5.2.3圆柱坐标系

7、中的分离变量法如果待求场域的边界面与圆柱坐标系中某一坐标面一致时，应选择圆柱坐标系。分离出的三个常微分方程：对于轴对称，B=0Jn(x)和Nn(x)是第一类及第二类贝塞尔函数，在0~之间有无数多个零点；In(x)和Kn(x)是虚宗量（或修正）贝塞尔函数，没有实数零点。x0时，Nn(x)和Kn(x)均发散。n阶贝塞尔方程第一类贝塞尔函数第二类贝塞尔函数虚宗量贝塞尔函数虚宗量贝塞尔函数例5-3代如系数得例5-4半径为a的半无限长金属圆筒，筒底与圆筒壁有很窄的绝缘，圆筒侧壁电位为0，筒底电位为，求圆筒内电位分布。对z轴的

8、对称性，位函数不是坐标变量的函数解：将圆筒置于圆柱坐标系中，其定解问题可表示为且B应为0是零阶贝塞尔函数的第m个根可得电位函数得通解贝塞尔函数的正交性决定系数Am据贝塞尔第一正交公式应用贝塞尔函数的积分公式左边只有m=i项不为0可得可得电位的解5.2.3圆球坐标系中的分离变量法如果待求场域的边界是球面或锥面时，应选择圆球坐标系。上