1.4 数学归纳法 课件(北师大选修2-2)

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1、第一章§4理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．问题1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．问题2：这种现象对你有何启发？提示：这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题．数学归纳法及其基本步骤：数学归纳法是用来证明某些与有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：(1)验证：时，命题

2、成立；(2)在假设当时命题成立的前提下，推出当时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．正整数nn＝1n＝k(k≥1)n＝k＋11．数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明．2．应用数学归纳法时应注意：(1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可；(2)在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法．[思路点拨]运用数学归纳法由n＝k到n＝k＋1，等式左边增加了两项．结合等式右边的结构特点，进一步确定所需要的项及多余项，最后凑成所需要的结构形式即可

3、．[一点通]用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项，增加了怎样的项．1．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋)．证明：①当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，当n＝k＋1时，1×

4、4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．根据①和②，可知等式对任何n∈N＋都成立．2．证明12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．证明：①当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，∴左边＝右边，等式成立．②假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2

5、－(2k)2＝－k(2k＋1)成立，则当n＝k＋1时，左边＝12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋[2(k＋1)－1]2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝(2k＋1)(k＋1)－4(k＋1)2＝(k＋1)[2k＋1－4(k＋1)]＝(k＋1)(－2k－3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，∴当n＝k＋1时等式成立．由①②可知对于任意正整数n，等式都成立.[思路点拨]在由n＝k到n＝k＋1的推证过程中可考虑使用“放缩法”，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明

6、不等式的常用方法之一．[一点通]对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明．使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法，对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口．3．若n∈N＋且n≥5，求证2n>n2.证明：①当n＝5时，25>52，不等式成立．②假设n＝k(k≥5，k∈N＋)时，2k>k2.则当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k＝2k＋2k>k2＋k2>k2＋2k＋1＝(k＋1)2，即n＝k＋1时

7、不等式成立．由①②知，当n∈N＋且n≥5时，不等式2n>n2成立．4．用数学归纳法证明：当n∈N＋时，1＋22＋32＋…＋nn<(n＋1)n.证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2,1<2，不等式成立．②假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk<(k＋1)k，那么，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋33＋…＋kk＋(k＋1)k＋1<(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k(k＋2)<(k＋2)k＋1＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边<右边，即当n＝k＋1时不等式也成立．根据①和②

8、，可知不等式对任意n∈N＋都成立.[一点通]“观察—归纳—猜想—证明”模式的题目的解法：①观察：由已知条件写出前几项；②归纳：根据前几项的规律，找到项与项数的关系；③猜想：猜想一般项的表达式；④证明：用数学归纳法证明猜想的结论．解：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，猜想an＝5×2n－2(n≥2，n