“叉形线”在解题中的应用等论文

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1、奇妙的数　　虽然人们对数学已有了很深的研究，但数学却仍无时无刻不带给我们惊喜，无意之中，我发现了一个有趣的规律：请看下面几组等式：（1）3×1.5；3＋1.5=4.5（2）5×1.25=6.25；5＋1.25=6.25（3）9×1.25=10.125；9＋1.125=10.125（4）17×1.0625=18.0625；17＋1.0265=18.0625（5）33×1.03125=34.03125；33＋1.03125=34.03125（6）65×1.015625=66.015625；65＋1.015625=66.015625（7）129×1.0078125=130

2、.0078125；129＋1.0078125=130.007812不难发现，如果设第一个数为a，第二个数b,则有a×b=a＋b则数列1，3，5，9，17，……的通项可写成ab=1＋2n数列1.5,1.25，1.125，1.0625……的通项可写成bn=1＋这时我们可以看到原因很简单，因为（1＋2n）(1＋)=（1＋2n）＋(1＋)显然是成立的。从而可将其推广到由（1＋mn）(1＋)=（1＋mn）＋(1＋)得出许多这样奇妙的数组。数学的美丽，数学的惊喜是存在的，就看我们是否善于发现。湖北钟祥柳成兵“叉形线”在解题中的应用解析几何中常遇到两直线相交的问题，我发现这类问题

3、可以把两相交直线看着一个曲线，以下称为“叉形线”。它的曲线方程是什么呢？一般地，如果直线A1＋B1y＋C1=0与直线A2＋B2y＋C2=0相交，则形成的“叉形线”的方程为（A1＋B1y＋C1）（A2＋B2y＋C2）=0且是二次曲线。下面用例子来说一下它的应用。例1、一条直线L被两条直线4x＋y＋6=0和3x－5y－6=0截得的线段中点恰好是坐标原点，则求直线L的方程。解：设L:y=kx(k显然存在)联立“叉形线”：（4x＋y＋6）(3x－5y－6)=0得（12－17k－5k2）x2－(6＋36k)x－36=0设L与“叉形线”相交于点（x1,y1）,(x2,y2)则有

4、=0即6＋36k=0,所以k=－，故L方程为y=－x例2、过点M（2，1）作直线L，交x,y轴正半轴于A、B两点，求

5、MA

6、·

7、MB

8、的最小值。分析与解：可设直线参数方程（＜＜）把两坐标轴看作“叉形线”，其方程为xy=0，联立直线方程得t2sincos＋t(2sin＋cos)＋2=0①其中方程的两解对应于直线与坐标轴的两交点，设MA=t1,MB=t2即方程①的两根

9、MA

10、·

11、MB

12、=

13、t1

14、·

15、t2

16、==当=时，

17、MA

18、·

19、MB

20、的最小值为4。实际上，“叉形线”也应是圆锥曲线的一种，当一平面过两相对圆锥顶点时得到的就是两相交直线形成的曲线即“叉形线”。如果把它和椭圆

21、，抛物线等一样应用，那将是一片新天地吗？湖北钟祥柳成兵例谈数学思想和方法的教学——湖北钟祥柳成兵知识的记忆是暂时的，但数学的精神、思想和方法，以及由此而获得的能力是永存的。所谓数学思想、带有思想、观点的属性，是从具体的数学知识和对数学的认识过程中提炼、升华，在更高层次上抽象和概括的一种隐性的更本质的知识内容，具有宏观的指导意义，是用以建立数学和用数学解决问题的指导思想和数学意识。中学阶段，特别是高考中涉及的主要数学思想有：数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、化归的思想。所谓数学方法是数学思想的具体表现，因而指的是适用面宽广的数学基本方法，即通性通法，具有

22、模式化和可操作性的特征，用作解题的手段，如消元降幂法、配方法、换元法、待定系数法，数学归纳法、参数法，构造法、几何变换法等。学生在做数学题中领悟、体验数学思想方法，教师在分析和处理问题的过程中揭示、强化数学思想方法，我们应不失时机，启发学生用数学的大脑去观察、分析、处理问题，揭示其数学思想方法，配合学生的体验，逐步强化，使之成为一种意识。请看下面一个例子：例1、P是双曲线－=1(a＞0,b＞0)左支上一点。F1，F2分别在左、右焦点，焦距为2C，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为（）A、－aB、－bC、－CD、a＋b－c分析：在双曲线左支上随便取一点P（x0,y0

23、）计算，将不胜其繁，也是缺乏数学头脑的表现。观察选项的特征，均为定值。据此，可将问题特殊化。取双曲线的左正焦弦的上端点为P，此时△PF1F2为直角三角形，∠PF1F2=900，结合图形，只需求出内切圆半径即可。内切圆半径r=(

24、PF1

25、＋

26、F1F2

27、－

28、PF2

29、),由双曲线的定义，

30、PF2

31、－

32、PF1

33、=2a，又

34、F1F2

35、=2c，r=（2c－2a）=c－a，故内切圆圆心的横坐标为－[c－(c-a)]=－a,选A。特殊化处理起来竟如此轻松。极限化则更为巧妙，当点P在左支上向左顶点A1运动时，△PF1F2的内切圆逐渐变小，当点P无限趋近于A1时，其内切圆的极限位置