利用定积分求几何体体积(张远航)

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1、利用定积分求几何体体积菏泽一中高二·三十六班张远航指导教师：孙国林[摘要]本文介绍了利用定积分求高中常见几何体体积的一般方法——微元法及适用条件、一般过程与关键步骤，并解决数个典型问题。[关键词]定积分微元法牟合方盖旋转体体积一、微元法[1]若待求量y随x变化，即y=f(x)，则在[x,x+Δx]上f(x)可近似视作不变，即f(x)≈f(x+Δx),Δf(x)≈f(x)dx。定积分是和式f(x)dx的极限，即=.若所研究的问题总可以按照分割、近似代替、求和、取极限四个步骤求和式的极限，那么便可应用定积分解决问题。使用微元法的

2、条件：1、所求量y是自变量x在区间I上的因变量。2、在区间I上，y=ΣΔy，即y具有代数可加性。关键：找出Δy的近似表达f(x)dx。二、牟合方盖的体积所谓“牟合方盖”是当一正立方体用圆规从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分。若以该正方体中心为原点建立空间直角坐标，则立方体是关于八个卦限对称的，因此可先研究第一卦限内的情况。平行于yOz平面作截面，第一卦限内截面边长均为，故截面为正方形。ΔV≈S×Δx=()Δx则V==8（-）解得V=三、一般旋转体的体积圆柱、圆锥、圆台均是常见的旋转体。如图，当阴影部分绕x轴旋转一

3、圈，即围成一旋转体，下面计算该旋转体体积。平行于y轴作截面，截面面积S(x)=π。ΔV≈S(x)ΔxV=1、求圆锥体积：V===2、求圆柱体积：V==小结：通过以上讨论可以看出，尽管利用定积分解决立体体积问题，基本思路仍是由三维向二维转化。定积分解决几何体体积问题的关键在于找到体积的近似表达，即被积式，应用条件为所求量y是自变量x在区间I上的因变量，在区间I上，y=ΣΔy，即y具有代数可加性。应用定积分求解几何体体积问题的优点是快捷、思路明晰，这种方法对于一类数学问题（分割、近似代替、求和、取极限）都十分有效。参考文献：[1

4、]《微积分》第9版，机械工业出版社，2009年8月。