Aitken加速收敛算法.doc

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1、2012-2013（1）专业课程实践论文Aitken加速收敛方法李阳R数学08-2班曹宏博R数学08-2班一、算法理论Aitken加速收敛算法基本原理：对于收敛的迭代过程，只要迭代足够多次，就可以使结果达到任意的精度。但有时迭代过程收敛缓慢，从而使计算量变得很大，因此，迭代过程的加速是个重要的过程。设是跟的某个预测值，只迭代公式校正一次,而由微分中值定理有：（其中介于与之间）。假定改变不大，近似的取某个近似值，则由得到,可以期望按上式右端求得是比更好的近似值，将每得到一次改进值算做一步，并用和分别表示第步的校正值和改进值，则加

2、速迭代计算方案可表述如下：校正：改进：然而上述加速公式有个缺点，由于其中含有倒数的有关信息L，实际使用不便。仍设已知的某个猜测值为，将校正值,再校正一次，又得。由于将它与式联立，消去未知L，然后有这样构造出的改进公式确定不再含有关于导数的信息，但是它需要用2次迭代值进行加工，如果将得到一次改进值作为一步，则计算公式如下：校正：再校正：改进：上述处理过程称为方法。如下用2个题说明：例题（1）用算法通过编程计算在[1,2]内的近似根，要求精度达到。例题（2）用算法通过编程计算在[1，2]内的近似根，要求精度达到。二、算法框图三、算

3、法程序（1）题程序：#include#includedoubles(doublet){return(t*t*t-1);}usingnamespacestd;intmain(){inti;doublex,x0,x1,x2,e;cout<<"请输入迭代初始值x0"<<",和控制精度e"<>x0>>e;i=0;while(fabs(x0*x0*x0-x0-1)>e){i++;x1=s(x0);x2=s(x1);x0=x2-(x2-x1)*(x2-x1)/(x2-2*x1+pow(

4、(x1+1),1.0/3.0));}x=x0;cout<<"近似根x="<

5、.用Aitken算法通过编程计算在[1,2]内的近似根，要求精度达到0.001。解：运行程序（1）首先输入的初始值是1.3，以及精度值0.001按回车。（2）得到结果近似根1.46557，迭代次数为2次当精度达到0.001时，程序运行结果如下图：