迭代与分叉混沌作业.doc

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1、开放性实验（十）一、实验题目：迭代与分叉、混沌作业2逻辑斯谛方程可写为标准形式对于不同的r,观察数列的收敛情况。（1），相应的MATLAB代码为>>clear;>>x=0.3;r=0.6;>>fori=1:30>>x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x;>>end>>plot(x1,y,'k-o')计算结果见下图，由图中可知，迭代收敛于0，0迭代式的不动点。为了画出迭代的蛛网图，相应的MATLAB代码为>>clear;>>x=0.3;r=0.6;>>fori=1:30>>x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i

2、)=x;>>endx1(1)=0.3;y1(12)=0;>>fori=1:29>>x1(2*i+1)=y(i);x1(2*i)=x1(2*i-1);>>yi(2*i)=y(i);y1(2*i+1)=y1(2*i);>>end;>>x2=0:0.01:1;y3=r.*x2>*(1-x2);>>plot(x1,y1,'k-',x2,y2,'k-',x2,y3,'k-')（2），相应的MATLAB代码为>>clear;>>x=0.3;r=2.8;>>fori=1:30>>x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x;>>end>

3、>plot(x1,y,'k-o')计算结果见下图，由图中可知，迭代数列上下震荡，收敛于不动点。为了画出迭代的蛛网图，只需在第一种情况相应的MATLAB代码中将r=0.6给为r=2.8即可。（3），相应的MATLAB代码为>>clear;>>x=0.3;r=3.2;>>fori=1:40>>x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x;>>end>>plot(x1,y,'k-o')计算结果见下图，由图中可知，经过一段时间调整，迭代数列开始在两个近似为0.51和0.80的值之间震荡。这类震荡称为2-循环。一旦进入这种模式，就容

4、易预测解的未来值。相应的蛛网图为（MATLAB代码略去）。（4），相应的MATLAB代码为>>clear;>>x=0.3;r=3.46;>>fori=1:40>>x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x;>>end>>plot(x1,y,'k-o')计算结果见下图，由图中可知，经过一段时间调整，迭代数列开始在四个值之间震荡。这类震荡称为4-循环。注意，当参数r的值变化时，从收敛到唯一不动点（1-循环）到4-循环，再从2-循环到4-循环，这样的分裂行为称为分叉（bifurcation）。（5），相应的MATLAB代码为>

5、>clear;>>x=0.3;r=3.55;>>fori=1:100>>x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x;>>end>>plot(x1,y,'k-o')计算结果见下图，由图中可知，经过一段时间调整，迭代数列开始在八个值之间震荡。这类震荡称为8-循环。（6），相应的MATLAB代码为>>clear;>>x=0.3;r=3.80;>>fori=1:100>>x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x;>>end>>plot(x1,y,'k-o')计算结果见下图，由图中可知，迭代数列不再呈现稳定的周期性，也

6、不具有任何可预测的模式。迭代数列在区间（0,1）内跳来跳去，而且表现出对初始条件非常敏感的依赖性，称这种状态为混沌（chaos）。为了观察r对迭代格式的影响，将区间（0,4]以步长离散化。对每个离散的r值进行迭代，忽略前50个迭代值，把点显示在坐标平面上。这样形成的图称为Feigenbaum图，它反映了分叉与混沌的基本特性，参考的MATLAB代码为>>clear;>>forj=1:400;>>x=0.3;r=j/100;>>fori=1:100>>x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x:>>end>>fork=1:5

7、0>>xx(k)=r;yy(k)=y(50+k);>>end>>holdon;plot(xx,yy,'ko')>>end从Feigenbaum图可以看出，当时，0是稳定的不动点；当时，0是排斥点，是稳定的不动点；当时，迭代变为2-周期轨道，是第一分叉点；当时，迭代变为4-周期轨道，是第二分叉点；当时，迭代变为8-周期轨道，是第三分叉点；下面迭代将依次分叉为16-周期，32-周期，64-周期，……，这种分叉形式称为倍周期分叉，相应的分叉点很显然，上面所列参数r的临界值有收敛趋势。事实上也的确如此，它们最后收敛到。收敛序列可表示为式中

8、称为Feigenbaum常数，当时，迭代进入混沌区域。