柯莫哥洛夫检验.docx

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1、柯莫哥洛夫与斯米尔诺夫检验一、柯莫哥洛夫检验设总体X的分布函数为，是x的连续函数。……是来自X的样本。设要检验的原假设是：这里要保证是一个已知的特定的连续分布函数，且不含任何未知参数。要进行假设检验首先要构造检验统计量，这里构造检验统计量的思路是从样本经验分布入手。定义样本的经验分布函数，这里的表示为：其中的为如下的示性函数：这里要指出，时相互独立同分布与的随机变量。证明如下：于是有服从退化分布。又由于，所以，是的无偏估计。再由，Bernoulli大数定律于是，是的相合估计.在由中心极限定理可以知道：对于固定的X，在n较大的时候有渐进正态分布进一步有：通过以上

2、的推导，我们似乎找到了一个合适的检验统计量,它的分布是已知的，如果越大则越倾向于拒绝原假设。但是这里的分布的收敛性是对逐点收敛的，而不是一致收敛，因此并不适合用于构造检验统计量。我们还需进一步的处理样本。在这里需要介绍格里文科定理：对于任给的自然数n，设……是取自总体分布函数一组样布观察指标，为其经验分布函数，记则有：这里的几乎处处以概率1趋于0，但是我们还需要进一步的探讨其精确或者渐进分布。我们可以获得如下定理：TH1:设是连续的分布函数，y为任意实数,在原假设为真时:这里的定理获得的分布是精确的分布，并且不要求的具体形式，只要求是连续分布函数，因此该定理的

3、分布函数与的形式无关，至于样本量有关。显然，最大距离越大，越倾向于拒绝原假设，故检验的拒绝域应有形式。对于给定的显著性水平（0<<1），有定理给出的精确分布定出分布的上侧分位数，使得：。其中，但是，当n>100时，利用上面的定理计算的分位数已非常繁琐，这时可以用柯尔莫哥洛夫对给出的渐进分布计算拒绝域。TH2：设理论分布是连续分布函数，且不含任何未知参数，则在原假设为真且n趋于无穷时：（*）该定理给出了最大距离的渐进分布。由于对原假设做出做检验时的拒绝域任为，故对给定的显著性水平（0<<1），可用定理给出的上侧分位数，使：或其中，二、斯米尔诺夫检验斯米尔诺夫检验

4、主要用于检验两个总体的真分布是否相同.其检验的思想方法与柯莫哥洛夫检验类似。设……是来自具有连续分布函数的总体X中的样本，设……是来自具有连续分布函数的总体Y中的样本，且假定两个样本相互独立。欲检验假设：:vs:构造检验统计量为：其中和分别是这两个样本所对应的经验分布函数。当不真时，统计量有偏大的趋势。可以获得如下定理：TH1：如果，且为连续函数，则有:其中x为任意实数,.TH2：如果定理TH1所述条件成立，则有其中K(x)由式(*)定义由定理1可见，统计量的精确分布不依赖于总体的真分布函数，以上两个定理提供了比较两个总体的分布函数的方法。对于给定的显著性水平

5、（0<<1），令，可以由表查出和，使得，若>,则拒绝原假设，若,<,则接受原假设。