第五节 对坐标的曲面积分.ppt

《第五节 对坐标的曲面积分.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五节对坐标的曲面积分第五节对坐标的曲面积分一.对坐标的曲面积分的概念与性质曲面的方向双侧曲面有两个侧面，任意规定一个侧面为正侧，另一个侧面便是负侧-为非封闭曲面:由曲面上法向量的方向来确定正负侧.为封闭曲面:一般外侧为正侧,内侧为负侧.这种取定了法向量也就确定了侧的曲面叫有向曲面例如:曲面x=x(y,z),如果法向量指向前,则确定前侧为正侧,后侧为负侧例:流体的流量设不可压缩流体(设ρ=1)稳定流动,其流速为v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,其中P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)

2、在有向曲面Σ上连续,求单位时间内流过曲面Σ正侧的流量Φ.如果Σ是平面,面积为△S,流速v=Pi+Qj+Rk为常向量Σ分别在yoz,zox,xoy面上的投影则为Σ的单位法向量其坐标表示式一般情况,Σ是曲面,v的大小和方向都变化.将Σ任意分成n个子曲面在yoz,zox,xoy面上的投影分别为上任取一点Σ在该点的单位法向量为设R(x,y,z)是定义在有向曲面Σ上的有界函数,定义作和式其中d为n个子曲面的最大直径Σ的单位法向量为将Σ任意分成n个子曲面在xoy面上的投影为上任取一点R(x,y,z)在有向曲面Σ上对坐标x,y的曲面积分(第二类)同理P(x,y,z

3、),Q(x,y,z)在有向曲面Σ上对坐标y,z和z,x的曲面积分为(2)如果f(x,y,z)在曲面∑上连续，则曲面积分存在(1)若∑是封闭曲面，则上述积分记为注:(3)常见组合积分(例如流量Φ)(4)基本性质与第一类曲面积分类似,两类积分的最主要的区别为对第二类曲面积分,必须注意曲面所取的侧二、对坐标的曲面积分的计算法化成∑的投影区域上的二重积分(1)设∑的方程为:z=z(x,y),Σ在xoy面上的投影为z(x,y)在上有一阶连续偏导数,可以证明:(2).设Σ的方程为:x=x(y,z)注意：Σ取上侧时为正号;Σ取下侧时为负号.注意：Σ取前侧时为正号;

4、Σ取后侧时为负号.(3).设Σ的方程为:y=y(z,x)注意：Σ取右侧时为正号;Σ取左侧时为负号.例1计算解其中Σ为外侧在的部分上侧下侧两者的投影域相同,为例2计算流速为v={x,2y,3z}的不可压缩流体在单位时间内穿过表面外侧的流量Φ设ρ=1解则流量(1)求后侧前侧上侧在yoz面上的投影为零两者的在yoz面上投影域同为(2).同理(3).z=a上侧下侧投影域都是由(1),(2),(3)得三高斯公式空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系定理(高斯定理)设函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在空间闭区域Ω上具有一

5、阶连续偏导数,则:其中Σ是Ω的边界曲面外侧高斯公式证设闭区域Ω在xoy面上的投影域为边界曲面Σ与平行于z轴的直线相交不多于两点,则Σ分成上下两曲面上侧下侧由曲面积分计算法同理三式相加如果曲面Σ与平行于z轴的直线相交多于两点,则将Ω分成小块,利用区域的可加性易证.注意:对于闭曲面上的第二类曲面积分,利用高斯公式化成三重积分计算简便.例1.(上节例题2)高斯公式例2Σ为下侧解非封闭曲面,不能直接用高斯公式,可以加辅助曲面:上侧