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1、高考数学复习等差数列及其前n项和【要点梳理】要点一、等差数列的定义文字语言形式一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。要点诠释：⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；符号语言形式对于数列,若(，,为常数)或(，为常数)，则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差。要点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关。等差中项如果,,成等差数列，那
2、么叫做与的等差中项，即.要点诠释：①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。任意两实数a，b的等差中项存在且唯一.②三个数,,成等差数列的充要条件是.要点二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式首相为，公差为的等差数列的通项公式为：（）推导过程：（1）归纳法：根据等差数列定义可得：，∴，，，……当n=1时，上式也成立∴归纳得出等差数列的通项公式为：（）。（2）叠加法：根据等差数列定义，有：，，，…把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，∴.(3)迭代法：∴.要点诠释：①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和
3、公差确定，该等差数列就唯一确定了。②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量。等差数列通项公式的推广已知等差数列中，第项为，公差为，则：证明：∵，∴∴由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式可以看成是时的特殊情况。要点三、等差数列的性质等差数列中，公差为，则①若，且,则，特别地，当时.②下标成公差为的等差数列的项,,,…组成的新数列仍为等差数列，公差为.③若数列也为等差数列，则，，（k,b为非零常数）也是等差数列.④仍是等差数列.⑤数列（为非零常数）也是等差数列.要点四
4、、等差数列的前项和公式等差数列的前项和公式公式一：证明：倒序相加法①②①+②：∵∴由此得：公式二：证明：将代入可得：要点诠释：①倒序相加是数列求和的重要方法之一。②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量。要点五、等差数列的前项和的有关性质等差数列中，公差为，则①连续项的和依然成等差数列，即,,，…成等差数列，且公差为.②若项数为2n，则，，③若项数为2n-1，则，，，，要点六、等差数列中的函数关系等差数列的通项公式是关于n的一次函数(或常数函数)等差数列中，，令
5、,则：（,是常数且为公差）（1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。（2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。①当时，一次函数单调增，为递增数列；②当＜0时，一次函数单调减，为递减数列。等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）由，令，，则：（,为常数）（1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点。（2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点。①当时有最小值②当时，有最大值要点诠释：1
6、.公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数。2.（,是常数）是数列成等差数列的充要条件。3.公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数。4.(其中,为常数)是数列成等差数列的充要条件.【典型例题】类型一：等差数列的定义例1.（1）求等差数列3，7，11，……的第11项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【思路点拨】（1）根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项；（2）题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要
7、看是否存在一正整数值，使得等于这一数.【解析】（1）根据题意可知：,.∴该数列的通项公式为：（,）∴.（2）根据题意可得：,.∴此数列通项公式为：（,）.令,解得：,∴100是这个数列的第15项.【总结升华】1.根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出通项公式.2.要注意解题步骤的规范性与准确性.举一反三：【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项【答案】由，，∴.【变式2】－20是不是等差数列0，，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【答案】由题意可知：,，∴此数列的通项公式为：,令,解得，所以－20不是这个数列
8、的项.【变式3】求集合的元素的个数，并求这些元素的和【答案】∵，∴，∵，∴中有14个元素符合条件，又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列，即，，，∴.例2.已知数列的通项公式为这个数列是等差数列吗？【思路点拨】由等差数列的
