高考数学集合总复习-等差数列以及其前n项和.docx

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1、等差数列及其前n项和答案自主梳理1．(1)2　差　an＋1－an＝d　(2)A＝　等差中项2．(1)a1＋(n－1)d　(n－m)d　(2)na1＋d　　3.An2＋Bn　4.(1)am＋an＝ap＋aq　am＋an＝2ap　(3)递增数列　递减数列　常数列自我检测1．A　2.C　3.A　4.B　5.24课堂活动区例1　解题导引　(1)等差数列{an}中，a1和d是两个基本量，用它们可以表示数列中的任何一项，利用等差数列的通项公式与前n项和公式，列方程组解a1和d，是解决等差数列问题的常用方法；(2)由a1，d，n，an，Sn这五个量

2、中的三个量可求出其余两个量，需选用恰当的公式，利用方程组观点求解．解　(1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，得方程组　解得所以an＝2n＋10.(2)由Sn＝na1＋d，Sn＝242.得12n＋×2＝242.解得n＝11或n＝－22(舍去)．变式迁移1　解　由题意，知即∵d≠0，∴a1＝d.解得a1＝d＝2，∴an＝2n.例2　解题导引　1.等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，即an－an－1＝d(常数)(n≥2)，第二种是利用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．2．解选择、填空题时，

3、亦可用通项或前n项和直接判断．(1)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B，则{an}是等差数列．(2)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列．3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．(1)证明　∵an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝，∴当n≥2时，bn－bn－1＝－＝－＝－＝1.又b1＝＝－.∴数列{bn}是以－为首项，以1为公差的等差数列．(2)解　由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋，设函数f(x)

4、＝1＋，易知f(x)在区间和内为减函数．∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.变式迁移2　解　(1)∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列{}为等差数列．设bn＝，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3.∴2×＝＋.∴＝＋，解得λ＝－1.事实上，bn＋1－bn＝－＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{}为首项为2、公差为1的等差数列．例3　解题导引　本题可运用倒序求和的方法和等

5、差数列的性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷，应注意运用；也可用整体思想(把a1＋d看作整体)．解　方法一　设此等差数列为{an}共n项，依题意有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，①an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146.②根据等差数列性质，得a5＋an－4＝a4＋an－3＝a3＋an－2＝a2＋an－1＝a1＋an.将①②两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋(a4＋an－3)＋(a5＋an－4)＝5(a1

6、＋an)＝180，∴a1＋an＝36.由Sn＝＝＝360，得n＝20.所以该等差数列有20项．方法二　设此等差数列共有n项，首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋d＝34，①Sn－Sn－5＝[＋na1]－[(n－5)a1＋d]＝5a1＋(5n－15)d＝146.②①②两式相加可得10a1＋5(n－1)d＝180，∴a1＋d＝18，代入Sn＝na1＋d＝n＝360，得18n＝360，∴n＝20.所以该数列的项数为20项．变式迁移3　解　(1)依题意，知a1＋a2＋a3＋a4＝21，an－3＋an－2＋an－1＋an＝67，∴a1＋a2＋

7、a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝88.∴a1＋an＝＝22.∵Sn＝＝286，∴n＝26.(2)∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，∴S3n＝3(S2n－Sn)＝54.(3)设项数为2n－1(n∈N*)，则奇数项有n项，偶数项有n－1项，中间项为an，则S奇＝＝n·an＝44，S偶＝＝(n－1)·an＝33，∴＝.∴n＝4，an＝11.∴数列的中间项为11，项数为7.例4　解题导引　若{an}是等差数列，求前n项和的最值时，(1)若a1>0，d<0，且满足，前n项和Sn最大；(2)若a1<0，d>0，且满足

8、，前n项和Sn最小；(3)除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n∈N*.解　方法一　∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列．设