大学高等数学 下考点分类.doc

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1、08-12年高等数学下考点分类一、偏导数的几何应用1.[12]求曲面在点处的切平面和法线方程解:令，则从而切点的法向量为从而切平面为法线方程为2.[08]设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数解：方程组两端对求导，得把代入得，解得，于是在点处的切向量为，单位切向量为所求方向导数为3.[08]给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点。证：令，则从而曲面在点处的切平面为-24-，其中为动点。显然时成立，故切平面均过。一、多元函数的极限、连续、可微1.[12]证明函数在点不连续，但存在有一阶偏导数。证明：因为与有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数

2、在点不连续。又，或，或于是函数在点存在有一阶偏导数。2.[11]设函数。试证在点处是可微的解用定义求出-24-1.[10]证明：在点(0,0)处连续，与存在，但在(0,0)处不可微。解：（1）2.[09]3.[08]函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的必要条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的充分条件（填必要、充分或充要）一、复合函数求导1.[12]设，则02.[12]设,则3.[12]设,求解令，则，于是用公式得-24-1.[11]设,则2.[11]设可微，且，则3.[11]设，其中可微，证明证明由于4.，将变换为下的表达式。解：5.[09]6.[09]设，其

3、中函数具有二阶连续偏导数，求。解：-24-1.[09]求由方程组所确定的及的导数及。解：2.[08]设有连续偏导数，则3.[08]设，求解：两边取微分，得从而，一、多元函数的极值1.[12]在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。解设点为，则等价于求在约束之下的最小值。令且由-24-解得驻点，最短距离为1.[11]若函数在点处取得极值，则常数2.[11]设长方形的长、宽、高分别为，且满足，求体积最小的长方体。解令，2由，求出唯一驻点6由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为373.4.[09]求函数在圆域的最大值和最小值。解：方法一：当时，找驻点，得唯一

4、驻点当时，是条件极值，考虑函数，解方程组可得所求最大值为，最小值为。方法二：设，则且，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为。-24-方法三：圆域可写成最大值为4，最小值为。[08]设，则它有极小值一、梯度、方向导数1.[12]函数在点处沿指向点方向的方向导数2.3.[09]求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向值不变？4.二、二重积分1.[12]设是所围成的区域,则2.[12]计算二重积分，其中3.[12]设函数在内有连续的导数，且满足。求解用极坐标两边求导得，标准化为-24-于是由得，故1.[11]计算二重积分，其中

5、D是顶点为的三角形闭区域。解:2.[09]交换二次积分的积分次序：。3.[09]求锥面被柱面割下部分曲面面积。解：4.[09]（化工类做）计算二重积分，其中为圆域。5.[08]交换二次积分的积分次序6.[08]求球面含在圆柱面内部的那部分面积解：上半球面的部分为-24-一、三重积分1.[12]设为两球的公共部分，计算三重积分解由当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，于是分段先二后一积分，得2.[10]计算三重积分，其中是由所围成的闭球体．解：4’4’3.[09]计算。解：此三重积分积分区域在面上的投影为，即圆域的上半部分，设此部分为

6、，则原式4.[08]计算三重积分，其中.是由单位球面围成的闭区域.-24-解：由对称性从而一、曲线积分1.[12]设是抛物线介于点与点之间的那一段弧段，则曲线积分2.计算曲线积分，其中为摆线从点到点的弧。解由于补两条直线是逆向的闭曲线，故原式或由曲线积分与路径无关，直接得原式得或取，由曲线积分与路径无关，直接得，原式-24-或者由是全微分表达式，凑微分，因及得原式1.[11]假设L为圆的右半部分，则2.[11]计算,其中是椭圆的正向一周解:由格林公式3.[11]计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点，为终点的光滑曲线-24-解2所求解问题与路径无关，选折线71.2.3.[10

7、]计算4..[10]计算5.[09]6.[09]计算曲线积分，其中表示包含点在内的简单闭曲线，沿逆时针方向。解：在的内部作圆并取逆时针方向，-24-的参数方程为由格林公式有1.[08]计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点为终点的光滑曲线。解：由于，从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关取路径，一、曲面积分1.[12]计算曲面积分，式中是上半球面的上侧解补一个平面，取下侧，则原式另法（看看:归一化，多次换元够烦的）即，上半球面指向上侧法线为，从而,原式=-24-1.[12]求曲面包