(完整版)圆锥曲线的切线方程的推导 .doc

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1、圆锥曲线的切线方程的推导x2y22/21.若点P(x0,y0)是椭圆a2b21上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：2/222x0xy0y1。2ab2/2证明：由yb2x21a2x2y2b2(1)⋯⋯①a22/21°当xa时，过点P的切线斜率k一定存在，且02b2ky'

2、xx2/2∴对①式求导：2yy'b2x2x0，a22/2∴ky'

3、0∴切线方程为yybx0(xx)⋯⋯⋯⋯②2/200xx0a2yx2y20a2y02/2∵点P(x0,y0)在椭圆a2b21上，2/2x2y2xxyy2/2故0000

4、221代入②得1⋯⋯⋯⋯③2/2a2b2ab2/2而当xa时，y00x0xy0y切线方程为xa，也满足③式2/2故221是椭圆过点abP(x0,y0)的切线方程.2/2x2y22/22.若点P(x0,y0)是双曲线221上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：ab2/2x0xy0y1。a2b22y2x2x22/2221证明：由0bay2b2(1)⋯⋯①a2/21°当xa时，过点P的切线斜率k一定存在，且ky'

5、xx2/22/2∴对①式求导：2yy'2b2a2x0∴ky'

6、xx0b2x00a2y2/2∴切线

7、方程为yy0b2x00a2y(xx0)⋯⋯⋯⋯②2/2x2y2x2y2x0xy0y2/2∵点P(x,y)在双曲线1上，故001代入②得1⋯③2/200a2b2a2b2a2b22/2而当xa时，y00,切线方程为xa，也满足③式.2/222故x0xy0yab1是双曲线过点P(x0,y0)的切线方程.2/22/21.若点P(x0,y0)是抛物线y22px上任一点，则抛物线过该点的切线方程是2/2y0yp(xx0)2/2证明：由2y2px，对x求导得：p02yy'2pky'

8、xx。y2/2当y

9、00时，切线方程为yy0p(xx0)2y02/2000即yyy2pxpx，而y2pxyyp(xx)⋯⋯⋯⋯⋯⋯①2/20000而当y00,x00时，切线方程为x00也满足①式。故抛物线在该点的切线方程是2/2y0yp(xx0).2/2