基本不等式与最大(小)值.docx

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1、基本不等式应用《基本不等式》是人教A版普通高中新课程标准实验教科书数学必修5第三章第四节内容，基本不等式在不等式知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，主要以求最值等形式出现，所以利用基本不等式求最值作为重点研究。一．公式梳理1.重要不等式（1）若a,bR，则a2b22ab22(2)若a,bR，则abab（当且仅当ab时取“=”）22.基本不等式(1)若a,bR*，则abab2(2)若a,bR*，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）R*，则abab2(3)若a,b(当且仅当ab时取“=”）23.常见结构（1

2、）若x0，则x12(当且仅当x1时取“=”）;若x0，则x1x2(当且仅当x1x时取“=”）（2）若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）ba注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．二．典例探究最值问题5，求函数y4x21的最大值例1：（1）已知x4x45（2）当时，求yx(82x)的最大值反思：直接运

3、用基本不等式求解时，研究对象为负时，；当和或积不能为定值时，通过后可得到定值，从而可利用基本不等式求最值。例2.求yx27x10(x1)的值域。x1反思：例3：求函数yx25的值域x24反思：例4.已知x0,y0，且191，求xy的最小值。xy反思：变式：已知x0,y0且191，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围xy反思：几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：（）a＞f(x恒成立?；(2)a＜f(x恒成立?1))(3)a＞f(x)有解?；（4)a＜f(x)有解?.1例5.已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ab的最

4、小值.反思：三．课堂练习（）设a，b∈，且a＋b＝，则a＋b的最小值是（）11R322A.6B.42C.22D.26（2）若log4xlog4y112，的最小值为.xy2.若a＞，b＞，且a＋b－＝，则ab的最大值为()002201A.2B.1C.2D.4（x＋）（x＋）52(x＞－1)的最小值.3．求函数y＝x＋14.若对任意x≤a恒成立，则a的取值范围是.x＞0，x2＋x＋31四．课堂小结利用均值不等式求最值时，一定要注意“一、二、三”，同时还要注意技巧，积极创造条件利用均值不等式。五．作业1.设0x34x(32x)的最大值。，求函

5、数y22．若log4(3a＋4b)＝log2ab，求a＋b的最小值3.求.函数f(x)＝5－4x＋x2在(－∞，2)上的最小值2－x4.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值.5.已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围.6..已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2ab－4a2－b2的最大值.