作业：导数在解决实际问题中的应用.doc

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1、导数在解决实际问题中的应用导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具．数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决．其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和的有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数来解决相关问题．1、研究函数性

2、质导数作为研究函数问题的利刃，常用来解决极值、最大（小）值、单调性等三类问题.在求解这些函数问题时，要结合导数的思想与理解性质的基础上，掌握用导数方法求解的一般步骤．在熟练运用导数工具研究函数的性质同时，我们要注意比较研究函数的导数方法与初等方法，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.例1、求函数在上的最大值和最小值．分析：先求出的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间上的最大值和最小值．解：由于，则当或时，，所以，为函数的单调增区间；当时，，所以为函数的单调减区间．又因为，，，，所以，当时，取得最小值；当

3、时，取得最大值．例2、求函数在（0,1]上的单调性（R）.解：令，即求，t（0,1]上的单调性.当a0时，在t（0,1]上为增函数；当a<0时,因=，则由，得=0.有t=，则可以判断，当t(0,)时，，说明在t（0，）上为增函数；当t时，，在上为减函数.接下来，要比较和1的大小,当时，则在上为增函数，此时，当时，，则在t（0，）上为增函数；在t上为减函数.该题用导数来解，淡化了技巧，突出了通法，充分显示了该解法的新颖别致和通俗易懂.2、证明不等式成立证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性

4、以及导数思想的重要性.由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最大(小)值的研究，经历某些代数变形，得到待证明的不等式.例3、求证：不等式在上成立．分析：通过作差，构造函数，和，再通过对和求导来判断．证明：构造函数，则．得知在上单调递增，又因为，所以，即成立．又构造函数，则．得知在上单调递增，又因为，所以，即成立．综上所述，原命题成立．3、求解参数范围给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式.在此类含参问题的求解过

5、程中，逆向思维的作用尤其重要.例4、已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝－2时，f′(x)＝2x－＝.当x变化时，f′(x)和f(x)的值变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减极小值单调递增由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，极小值是f(1)＝1.(2)由g(x)＝x2＋alnx＋

6、，得g′(x)＝2x＋－.若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调递增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x－＋≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立.令φ(x)＝－2x2，则φ′(x)＝－－4x.当x∈[1，＋∞)时，φ′(x)＝－－4x<0，∴φ(x)＝－2x2在[1，＋∞)上为减函数，∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0.故a的取值范围为[0，＋∞)．4、研究曲线的切线问题导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，从而利用导数可求曲线的切线，并进一步将导数融合到函数与解析几何的交汇问题中

7、.在求过点所作函数对应曲线的切线方程时应先判断该点是否在曲线上.当点在曲线上，即点为切点时，则切线方程为.当点不在曲线上时，则设切点坐标为，由先求得切点的坐标，然后进一步求切线方程.例5、已知曲线,求过点P的曲线的切线方程.解：因，所以，则当时，，.①当时，点P在曲线上，故过点P的曲线的切线方程为即，②当时，点P不在上，设曲线过点P的切线的切点是，则切线方程为且点P在此切线方程上，所以有即又则有，即，当时，，所以；当时，，所以切线方程是，即，当时，，切线不存在.例6、已知抛物线和抛物线，当取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出公切线的方

8、程.分析：传统的处理方法是用法来解决，但计算量大，容易出错，如能运用导数的几何意义去解，则思路清晰，解法简单.解：设分别是直线与、的两个切点.又，的导数分别为：，，所以，即又、有且只有一条公切线，则点A与点