函数的单调性,函数的奇偶性,反函数.doc

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1、函数的单调性，函数的奇偶性，反函数　　[本周教学重点]掌握函数单调性的定义，会用定义法证明函数的单调性及其步骤。　　(1)设x1，x2是定义域上的任意两个值，且x1

2、(x)=0f(x)是偶函数。　　由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是侧重于函数解析式的变形去证明f(x)的奇偶性；而f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通过运算去证明f(x)的奇偶性，两种定义形式各具不同优势。　　(3)若f(x)是奇函数且允许x=0，则f(0)=0，即f(x)的图象过原点。　　(4)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则f(x)=0。　　(5)同为奇函数，同为偶函数的两个函数之积是偶函数；一奇一偶两个函数之积是奇函数。　　(6)定义在R上的任意一个函数f(x)都可表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和。　　即f(x)=g(x)+h(x

3、)，其中g(x)=[f(x)-f(-x)]，h(x)=[f(x)+f(-x)]。　　理解反函数的概念，掌握求反函数的方法步骤。　　(1)由原函数y=f(x)求出它的值域；　　(2)由原函数y=f(x)反解出x=f-1(y)；　　(3)交换x，y改写成y=f-1(x)；　　(4)用f(x)的值域确定f-1(x)的定义域。　　[例题分析]　　例1．证明函数f(x)=在定义域上的单调性。　　[分析与解答]函数的单调性必须在定义域内进行考查。由x2+x≥0得f(x)定义域为(-∞，-1][0，+∞)。　　函数定义域不是一个连续的区间，应分别考查在每一个区间上的单调性，用定义法证明时，只需任取x1

4、0。　　∴f(x1)-f(x2)>0，∴f(x)是(-∞，-1]上的单调递减函数。　　当0≤x10。>0。　　∴f(x1)-f(x2)<0，∴f(x)是[0，+∞)上的单调递增函数。　　例2．函数f(x)是[0，+∞)上的单调递减函数，f(x)≠0且f(2)=1，证明函数F(x)=f(x)+在[0，2]

5、上的单调性。　　[分析与解答]函数f(x)没有给出解析式，因此对F(x)的函数值作差后，需由f(x)的单调性，确定作差后的符号。任取0≤x1f(x2)≥f(2)=1。　　∴f(x1)-f(x2)>0，f(x1)·f(x2)>1，<1，1->0，　　∴F(x1)-F(x2)>0，F(x)是[0，2]上的单调递减函数。　　例3．证明函数f(x)=的奇偶性。　　[分析

6、与解答]函数的奇偶性必须在其定义域内考查。　　由函数f(x)定义域为[-1，0)(0，1]。　　∴

7、x+3

8、-3=x+3-3=x。即f(x)=，由f(-x)==-f(x)，　　∴f(x)是奇函数。　　例4．设f(x)是定义在R上的函数，对任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(x)不恒为0，证明f(x)的奇偶性。　　[分析与解答]函数f(x)没有给出解析式，这就必须从定义域，法则，及f(x)不恒为0去分析，完成奇偶性的证明。由f(x)定义域为R，显然允许x=0，所以f(0)=0是f(x)的奇函数的必要条件。　　令x1=x2=0，由f(x1+x2)=f(x1

9、)+f(x2)得f(0+0)=f(0)+f(0)，整理得f(0)=0，　　对任意x∈R，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，∴f(-x)=-f(x)，　　∵f(x)不恒为0，∴f(x)不可能既是奇函数又是偶函数，所以f(x)是R上的奇函数。　　例5．已知函数f(x)=　(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(1)=2，f(2)<3。　　(1)求a，b，c的值；(2)用定义法证明f