函数的单调性与反函数(三)

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1、§2.5.3函数的单调性与反函数(三)1.反函数的定义设函数y=f(x)的定义域、值域分别为A、C.如果用y表示x，得到x=φ(y)，且对于y在C中的任何一个值，通过x=φ(y)，x在A中都有惟一确定的值和它对应.那么就称函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数.记作x=f-1(y)一般改写为y=f-1(x)2.反函数的性质反函数y=f-1(x)的定义域和值域分别是原函数y=f(x)的值域和定义域．互为反函数的两个函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称2021/10/723.函数存在反函数的条件(1)从值域到定义域按

2、照原函数所确定的对应法则是一个映射,这是函数存在反函数的一个充要条件;(2)严格单调函数是函数存在反函数的一个充分不必要条件.4.一些注意点(1)奇函数不一定存在反函数,如f(x)=0(x∈R);(2)偶函数可能存在反函数,如f(x)=1(x∈{0});(3)f[f-1(a)]=f-1[f(a)]2021/10/731.函数y=3-x-1(x≤0)的反函数是__________2.已知函数y=f(x)的反函数f-1(x)=x-1(x≥0)，那么函数y=f(x)的定义域是__________y=-log3(x+1)(x≥0)[-1，+∞）3.函数f(x)=-x2

3、(x∈(-∞,-2]的反函数是______________4.已知函数f(x)的图象关于直线y=x对称,则实数m的值是________-15.已知函数y=f(x)的反函数为f-1(x)=2x+1，则f(1)等于()(A)0(B)1(C)-1(D)4C2021/10/74解题分析:本题只需将它看成关于x的方程,并解出这个方程即可.6.求下列函数的反函数：(1)(2)y=x2+2x(x≥0)2021/10/75【解题回顾】由函数y=f(x)求它的反函数y=f-1(x)的一般步骤是：(1)判断y=f(x)是否存在反函数(但书写时，此步骤可以省略)；(2)若存在反函数

4、，由y=f(x)解出x=f-1(y);(3)根据习惯，对换x、y，改写为y=f-１(x)；(4)根据y=f(x)的值域确定反函数的定义域6.求下列函数的反函数：(1)(2)y=x2+2x(x≥0)2021/10/76解题分析:7.已知函数，求的值2021/10/77解题分析:7.已知函数，求的值2021/10/78【解题回顾】求f-1(a)的值，解一是先求函数f(x)的反函数f-1(x)，再求f-1(a)的值；解二是根据原函数f(x)与它的反函数f-1(x)的定义域与值域间的关系，转化为求方程f(x)=a解的问题,解一是常规解法，解二较简便.7.已知函数，求

5、的值2021/10/798.若函数f(x)=ax+k的图象过点A(1，3)，且它的反函数y=f-1(x)的图象过点B(2，0)，求f(x)的表达式.返回解题分析：y=f-1(x)的图象过点B(2,0)y=f(x)的图象过点B’(0,2)【解题回顾】若函数f(x)存在反函数f-1(x)，则f(a)=b,f-1(b)=a.2021/10/7109．已知函数，求它的反函数，并作出反函数的图象解题分析:分段函数,要求它的反函数,只需在区间[0,1]与[-1,0)上分别求出x即可.所求函数的反函数是2021/10/7119．已知函数，求它的反函数，并作出反函数的图象返

6、回所求函数的反函数是xyO在涉及到反函数问题时，要特别注意原函数与反函数的定义域与值域之间的关系，以及它们图象间的关系.。。2021/10/712误解分析返回在涉及到反函数问题时，要特别注意原函数与反函数的定义域与值域之间的关系，以及它们图象间的关系.2021/10/713书面作业课堂练习<<教材>>P.28填空题<<教材>>P.29解答题13.142021/10/714