【精品】六年级下册数学试题-第三节 容斥原理 全国通用.docx

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1、第三节容斥原理知识提要：1.容斥原理：当两个（或几个）计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。这种解题方法概括为一般的原理即为容斥原理。2.容斥原理一：如下图所示，如果要计算三部分的总数，直接计算A＋B就会算多了，而多算的正好是③的部分，只要把多算的减掉就可以了。公式：A、B总数＝A＋B－A、B重叠概括为：单加、双减。AB①③②3.容斥原理二：如下图所示，在计算A＋B＋C时，有一些部分被重复计算了：④、⑤、⑥被计算了两次，而⑦被计算了三次。因此需要把重复计算的去掉。去掉A、B重叠，B、C重叠和A、C重叠的部分后，④、⑤、⑥

2、重复计算的一次去掉了，但⑦被去掉了三次，还需要补上一次。公式：A、B、C的总数＝A＋B＋C－A、B重叠－B、C重叠－C、A重叠＋A、B、C重叠概括为：单加、双减、三再加。A①④⑥⑦B②⑤③C4.文氏图是解决容斥问题最重要的方法。例题1（1）实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？练习1：（1）智考学校四年级学生中，有56人参加了英语竞赛，有124人参加了数学竞赛，既参加英语竞赛又参加数学竞赛的有22人，那么参加英语竞赛和数学竞赛的共有多少人？例题

3、2（1）对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？（2）47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？练习2：（1）有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？（2）四(一)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人．问语文数学都写完的

4、有多少人？例题3一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？练习3：四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？例题4某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗

5、的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？练习4：卫生部对120种食物是否含有维生素A、C、E进行调查，结果发现：含维生素A的有62种，含维生素C的有90种，含维生素E的有68种，同时含维生素A和C的有48种，同时含维生素A和E的有36种，同时含维生素C和E的有50种，同时含这三种维生素的有25种．请问这三种维生素都不含的食物有多少种？例题51~100的自然数中，既不能

6、被2整除也不能被3整除的数共有多少个？练习5：1~1000的自然数中，不能被5和7整除的数共有多少个？例题6全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格，那么，（1）数学成绩优秀的有几个学生？（2）有几个人既会游泳，又会滑冰？练习6：五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么

7、，参加B组的有多少人？例题7有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？课后巩固1、芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？2、科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一

8、项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？3、光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有