2021版高三数学解题万能解题模板40 离心率的求值或取值范围问题【解析版】.docx

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1、专题40离心率的求值或取值范围问题【高考地位】圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础.方法一定义法万能模板内容使用场景离心率的求值或取值范围解题模板第一步根据题目条件求出的值第二步代入公式，求出离心率.例1.在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为．【答案】【解析】试题分析：由题意得，解得考点：双曲

2、线离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.【变式演练1】【福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试】已知是椭圆37/37上的点，，分别是的左，右焦点，是坐标原点，若且，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】如图所示，设是中点，推理得到，再证明，再根据椭圆的定义得解.【详解】如图所示，设是中点，则,,因为，所以,所以，因为，所以.37/37由椭圆的定义得所以.故选：

3、A方法二方程法万能模板内容使用场景离心率的求值或取值范围解题模板第一步设出相关未知量；第二步根据题目条件列出关于的方程；第三步化简，求解方程，得到离心率.例2.【云南民族大学附属中学2020届高三第一次高考仿真模拟数学（理）】设，分别为椭圆：的左右焦点，点，分别为椭圆的右顶点和下顶点，且点关于直线的对称点为.若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．37/37【答案】C【分析】根据已知求出坐标，利用，建立关系，结合，即可求解.【详解】设，则的中点为，即在轴上，又在直线上，即点与重合，故，∴.故选:C.例3.如图，，是双曲线的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形为矩形，则

4、双曲线的离心率为（）37/37A．B．C．D．【答案】.【解析】试题分析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线代入曲线方程可得，，所以，所以，即，所以，因为，所以，所以，故应选.考点：1、双曲线的简单几何性质；2、双曲线的概念．【思路点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质和双曲线的概念，考查学生综合知识能力和图形识别能力，数中档题.其解题的一般思路为：首先根据矩形的性质并将直线代入双曲线方程中即可得出点的坐标，再由矩形的几何性质可得，最后可得出所求的结果.其解题的关键是正确地运用矩形的几何性质求解双曲线的简单几何性质.【变式演练2】焦点在轴上的椭圆方程为，短轴的一个端点和两个焦点相

5、连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积相等得得，，即，故选C.37/37考点：椭圆的标准方程与几何性质.【变式演练3】【江西省景德镇一中2021届高三8月月考数学（理）】已知分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆的右顶点，过作垂直于轴的直线与椭圆交于两点（在轴上方），若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意得为通径，进而得四点坐标，再根据列式求解即可.【详解】解：因为过作垂直于轴的直线与椭圆交于两点（在轴上方），所以为椭圆的一条通径，所以，，，，因

6、为，所以，即：，整理得：，所以.故选：C.37/37方法三借助平面几何图形中的不等关系万能模板内容使用场景离心率的求值或取值范围解题模板第一步根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，第二步将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，第三步解不等式，确定离心率的范围.例4【四川省遂宁市射洪县射洪中学校2019-2020学年高三下学期第一次学月考】设为椭圆上一点，点关于原点的对称点为，为椭圆的右焦点，且.若，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】设左焦点为，连接，根据几何关系得出四边形

7、为矩形，由椭圆的定义以及直角三角形的边角关系得出，从而得到，最后由正弦函数的性质得出椭圆离心率的取值范围.【详解】设左焦点为，连接37/37由平面几何知识可知，四边形为矩形根据椭圆的定义可得，设，则，故选：D【变式演练4】【四川省阆中市东风中学2020-2021学年高三11月月考数学（文）】如图，､是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的右左两支分别交于点､两点.若37/37为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．【答案】B【分析】根据双曲线的定义求出在