海伦—秦九昭公式的推导和应用.docx

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1、海伦—秦九昭公式的推导与应用　　海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦　　（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据MorrisKline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。　　假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：　　S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]　　而公式里的p为半周长：　　p=(a+b+c)/2　　————————————

2、——————————————————————————————————　　注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以　　S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。　　——————————————————————————————————————————————　　由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。　　证明（1）：　　与海伦在他的著作"Metr

3、ica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为　　cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab　　S=1/2*ab*sinC　　=1/2*ab*√(1-cos^2C)　　=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]　　=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]　　=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]　　=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]　　=1/4*√[(a+b+c)

4、(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]　　设p=(a+b+c)/2　　则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,　　上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]　　=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]　　所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]　　证明（2）：　　我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来

5、并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。　　秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。　　所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=qk,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以　　q=1/4[c2a2-

6、(c%

7、2+a2-b2/2)2]　　当P＝1时，△2＝q,　　S△=√{1/4[c2a2-(c2+a2-b2/2)2]}　　因式分解得　　1/16[(c+a)2-b2][b2-(c-a)2]　　=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)　　=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)　　=p(p-a)(p-b)(p-c)　　由此可得：　　S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]　　其中p=1/2(a+b+c)　　这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。　　S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c

8、}^.其中c>b>a.　　根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：　　已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积　　这里用海伦公式的推广　　S圆内接四边形=根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）　　代入解得s=8√3　　海伦公式的几种另证及其推广　　关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：　　设△ABC中，a、b、c分别为角