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1、限时作业14 导数、导数的计算一、选择题1.已知函数f(x)=+1,则的值为( ). A.-B.C.D.02.已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( ).A.3B.2C.1D.3.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则切点横坐标为1的切线方程是( ).A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.3x-y-1=0D.3x-y+1=04.(2011湖南高考,文7)曲线y=-在点M(,0)处的切线的斜率为( ).A.-B.
2、C.-D.5.已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,则f(1)+2f'(1)的值是( ).A.B.1C.D.26.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为( ).A.B.[-1,0]C.[0,1]D.二、填空题7.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值为 . 8.(2011山东菏泽模拟)若函数f(x)=x3-f'(-1)·x2+x+5,则f'(1)= . 9.若θ为
3、曲线y=x3+3x2+ax+2的切线的倾斜角,且所有θ组成的集合为,则实数a的值为 . 三、解答题10.求下列函数的导数.(1)y=xtanx;(2)y=++;(3)y=;(4)y=(x+1)(x+2)(x+3).11.已知曲线y=x3+.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.12.(2010湖北高考,文21)设函数f(x)=x3-x2+bx+c,其中a>0.曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1.(1)确定b,c的值;(2)设曲线y=f(
4、x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2),证明:当x1≠x2时,f'(x1)≠f'(x2);(3)若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线,求a的取值范围.##参考答案一、选择题1.A 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A 解析:设点P的横坐标是m,则曲线在点P处的切线的斜率等于y'
5、x=m=2m+2,由于该切线的倾斜角的取值范围为,因此有0≤2m+2≤1,由此解得-1≤m≤-.二、填空题7. 8.6 9.4 解析:设切线的斜率为k,则k=y'=3x2+6x+a,又
6、∵k=tanθ,θ∈,∴k∈[1,+∞).又k=3(x+1)2+a-3,∴当x=-1时,k取最小值为a-3=1.∴a=4.三、解答题10.解:(1)y'=(x·tanx)'=x'tanx+x(tanx)'=tanx+x·'=tanx+x·=tanx+.(2)y'='+'+'=(x-1)'+(2x-2)'+(x-3)'=-x-2-4x-3-3x-4=---.(3)y'='==.(4)y'=(x+1)'(x+2)(x+3)+(x+1)[(x+2)(x+3)]'=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)+(x+1)
7、(x+3)=3x2+12x+11.11.解:y=x3+,则y'=x2.(1)由题意可知点P(2,4)为切点,y'
8、x=2=22=4,所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)由题意可知点P(2,4)不一定为切点,故设切点为,y'=,曲线过点P(2,4)的切线方程为y-=(x-x0),所以4-=(2-x0),-3+4=0⇔(+1)-3(-1)=0⇔(x0+1)(-4x0+4)=0.解得x0=-1或x0=2,即切点为(-1,1)或(2,4).所以曲线过点P(2,4)的切线
9、方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.12.解:(1)由f(x)=x3-x2+bx+c得:f(0)=c,f'(x)=x2-ax+b,f'(0)=b.又由曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,得f(0)=1,f'(0)=0.故b=0,c=1.(2)证明:f(x)=x3-x2+1,f'(x)=x2-ax.由于点(t,f(t))处的切线方程为y-f(t)=f'(t)(x-t),而点(0,2)在切线上,所以2-f(t)=f'(t)(-t),化简得t3-t2+1=0,即t满足的方程为t3-t2+1
10、=0.下面用反证法证明.假设f'(x1)=f'(x2),由于曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2),则下列等式成立:由③得x1+x2=a.由①-②得+x1x2+=a2.④又+x1x2+=(x1+x2)2-x1x2=a2-x1(a-x1)=-ax1+a2=+a2≥a2,故由④得x1=,此时x2=与x1≠x2矛盾.所以f'(x1)≠f'(x2
