均值向量和协方差阵的检验.ppt

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1、第二章均值向量和协方差阵的检验§1.1均值向量的检验§1.2协方差阵的检验§1.3形象分析§1.4有关检验的上机实现第二章均值向量和协方差阵的检验在一元统计中，关于正态总体N（μ，σ2）的均值μ和方差σ2的各种检验，已给出了常用的μ检验、t检验、F检验和χ2检验等。对于多个指标的正态总体Np（μ，∑），各种实际问题同样要求对μ和∑进行统计推断。例如，要考察某工业行业的生产经营情况，今年与去年相比指标的平均水平有无显著差异，以及各生产经营指标间的波动是否有显著差异，需做检验。H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0.或H0：∑=∑0，H1：∑≠∑0等第二章均值向量和协方差阵的

2、检验关于μ和∑的各种形式的假设检验构成了本章的内容。本章的不少内容是一元的直接推广，但由于多指标问题的复杂性，本章将只列出检验用的统计量，主要详细介绍如何使用这些统计量做检验，而对有关检验问题的理论推证全部略去。本章最后还介绍形象分析以及有关检验的上机实现§2.1均值向量的检验§2.1.1一个指标检验的回顾§2.1.2多元均值检验§2.1.3两总体均值的比较§2.1.4多总体均值的检验§2.1.1一个指标检验的回顾设从总体N（μ，σ2）中抽了一个样本x1，x2，…，xn，我们要检验假设：H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0当σ2已知时，用统计量(2.1)其中为样本均值当

3、假设成立时，统计量μ服从正态分布μ-N（0,1），从而拒绝域为＞μα/2，μα/2为N（0,1）上的α/2分位点§2.1.1一个指标检验的回顾来做检验。当假设成立时，t统计量遵从自由度为n-1的t分布，t~tn-1，拒绝域为︳t︳＞tn-1（α/2）tn-1（α/2）为tn-1上的α/2分位点当σ2未知时，用作为σ2的估计，用统计量（2.2）§2.1.1一个指标检验的回顾统计量（2.2）也可以改成如下的形式：（2.3）当假设为真时，统计量遵从第一自由度为1、第二自由度为n-1的F分布，简写成其否定域是，后者为的上α分位点§2.1.2多元均值检验某工业行业的管理机构

4、，想要掌握所属企业的生产经营活动情况，选取了P个指标进行考察，根据历史资料的记载，将P个指标的历史平均水平记作μ0，今年的P项指标平均值记作μ，今年的P项指标平均值，与历史资料记载的平均值有无显著差异？有差异的话，进一步分析，差异主要在哪些指标上，类似这样的情况，就是要对下面的假设做检验，检验的思想和步骤与一元相似，可归纳如下：§2.1.2多元均值检验根据问题的要求提出统计假设H0以及H1；选取一个合适的统计量，并求出它的抽样分布；指定α风险值（即显著性水平α），并在零假设的H0为真的条件下求出能使风险值控制在α的临界值W；建立判别准则；由样本观测值计算统计量值，

5、再由准则做统计判断。最后应对统计判断作出具体的解释§2.1.2多元均值检验设是容量为n的一个样本，他们来自均值向量为μ，协方差阵∑（∑>0是正定阵）的P元正态总体，对于指定向量μ0，要对下面的假设（2.4）做检验。检验的方法与一元相似，将分两种情况讨论§2.1.2多元均值检验（ⅰ）协方差阵Σ已知类似于（2.3）的统计量（注意（2.3）的形式）是可以证明，在假设为真时，统计量遵从自由度为p的分布；事实上由§1.5§2.1.2多元均值检验统计量实质上是样本均值与已知平均水平之间的马氏距离的倍，这个值越大，μ与相等的可能性就越小，因而，在备择假设成立时，有变大的趋势，所

6、以拒绝域应取为值较大的右侧部分。式中是样本均值，是样本容量。当给定显著性水平后，由样本值可以算出的值，当时，便拒绝零假设，说明均值μ不等于，其中是自由度为P的分布的分为点。即§2.1.2多元均值检验（ⅱ）协方差阵Σ未知此时Σ的无偏估计是，类似于式（2.3）的统计量是：可以证明，统计量遵从参数为p,n-1,，的分布，即。统计量实际上也是样本均值与已知均值向量之间的马氏距离再乘以n(n-1)，这个值越大，μ与相等的可能性就越小。§2.1.2多元均值检验因而，在备择假设成立时，的值有变大的趋势，所以拒绝域可取为值较大的右侧部分。因此，当给定显著性水平后，由样本的数值可立

7、即算出值，当时，便拒绝零假设。分布的5%及1%的分位点已列成专表，由网上下载，为的上分位点。§2.1.2多元均值检验由§1.5，将统计量乘上一个适当的常数后，便成为F统计量，也可用F分布表获得零假设的拒绝域。即关于、的合理性及推证见参考文献[3]在实际工作中，一元检验与多元检验可以联合使用，多元的检验具有概括和全面考察的特点，而一元的检验容易发现各指标之间的关系和差异，能帮助我们找出存在差异的侧重面，提供了更多的统计分析信息。§2.1.3两总体均值的比较在许多实际问题中，往往要比较两个总体之间的平均水平有无差异。例如，两所大学新生录取成绩是否有明显差异；研究职工工

8、资总额的构