由递推式求数列通项法.doc

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1、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。范例已知数列满足，，求。[来源:学科网ZXXK]解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以由，类型2（1）递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。范例.已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，变式：已知，，求。解：。类型3递推式：1、当a=pa+q（p≠1，pq≠0）解

2、法：可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=pa+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。范例1：数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式。解：由a=a+1（n≥2）得a－2=（a－2），而a－2=1－2=－1，∴数列{a－2}是以为公比，－1为首项的等比数列∴a－2=－（）∴a=2－（）说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{a－2}，从而达到解决问题的目的。范例2：数列{a}

3、满足a=1，,求数列{a}的通项公式。解：由得[来源:学_科_网Z_X_X_K]设a，比较系数得解得∴{}是以为公比，以为首项的等比数列∴点评：求递推式形如（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．2、当为n的一次式时，可转化为特殊数列{a+An+B}的形式求解[来源:学科范例．设数列：，求.解:设整理得∴2A=2且-3A+2B=-1,得A=1，B=1设则,又，故代入（１）得[来源:学科网ZXXK]本题也可由,（）两式相减得转化为进而求出说明：若为的二次式，则

4、可设利用代定系数法进而解3、当时，则递推公式为（其中p，q均为常数）解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：从而化归为（p、q为常数）型．范例1：已知数列满足，，求．解：将两边同除，得设，则．令．条件可化成，数列是以为首项，为公比的等比数列．．因,．范例2：已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以类型4递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。范例1：已知数列中，,,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应

5、用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。范例2数列中，，求数列的通项公式。解：由得设比较系数得，解得或若取，则有∴是以为公比，以为首项的等比数列∴由逐差法可得=[来源:学科网]==