深究阴影部分面积的求法.doc

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1、深究阴影部分面积的求法近年中考中频频出现求阴影部分面积的考题.这类试题主要考查同学们的观察分析能力、图形变换能力和综合运用知识的能力,不少同学对此类问题往往展不开思路,因找不准图形之间的关系而无法解答.下面介绍几种常用的方法,供大家参考.一、和差法例1如图1所示,在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,∠C=90°,分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆,那么阴影部分的面积为(平方单位).解析:由题意得:在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,S△ABC=12AC×BC=12×6

2、×8=24,故S阴影=S半圆AC+S半圆BC-S半圆AB+S△ABC=π(AC2)2+π(BC2)2-π(AB2)+24=24.二、类比法例2如图2,已知A、B、C、D、E是反比例函数y=16x(x>0)图象上5个整数点(横、纵坐标均为整数),分别从这些点向横轴或纵轴作垂线段,由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧,组成如图所示的5个橄榄形(阴影部分),则这5个橄榄形的面积总和是(用含π的代数式表示).解析:由题意,首先根据能够整除16的正整数

3、,求出图象上的五个整数点分别为(1,16)、(2,8)、(4,4)、(8,2)、(16,1),其次利用扇形面积公式求弓形面积,即每一个橄榄形面积的一半.当点P位于点(4,4)时,S橄榄形=2×(90π×42360-S等腰三角形)=8π-16,其余四个计算方法同上.它们的面积从左到右分别为12π-1,2π-4,12π-1.所以橄榄形面积总和为13π-26.三、割补法例3如图3,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,若以AB为直径的圆交BC于点D,则图中阴影部分面

4、积是.解析:连接AD,由题意得AD⊥BC,又在Rt△ABC中,∠2学海无涯BAC=90°,AB=AC=2,所以AD=BD=CD=2,从而有S弓形BD=S弓形AD,即把弓形BD割下后恰好补到弓形AD的位置,从而阴影部分的面积补成△ACD的面积.故有S阴影=S△ACD=12×AD×CD=12×2×2=1.四、代数法例4如图4,长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形,求其阴影部分面积.解析:此题阴影部分面积直接求解难度较大.若根据图形的特征,能求出小长方形的面积,则

5、阴影部分的面积易求.设长方形的长为x,宽为y.根据题意得解得7+3y=x+2y,x+4y=22.解得x=10,y=3.S阴影=(7+9)×22-9×10×3=82.五、平移变换法例5如图5,⊙P内含于⊙O,⊙O的弦AB切⊙P于点C,且AB∥OP.若阴影部分的面积为,则弦AB的长为().A.3B.4C.6D.9解析:仔细观察图形的特征,就会发现若把⊙P向右平移使点P与点O重合,两圆成为同心圆,如图6,则阴影部分面积没有变.连接OA、OC,则有OC⊥AB,由垂径定理得AC=BC.∴S阴

6、影=S大圆-S小圆=π(OA2-OC2)=πAC2=9π.∴AC=3,AB=6.答案为C.2学海无涯