2019_2020学年高中数学第三章不等式3.1基本不等式跟踪训练含解析北师大版必修520210127250.doc

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1、第三章不等式§3　基本不等式3.1　基本不等式[A组　学业达标]1．(2019·湖南高一检测)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　)A．a＜b＜＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D.＜a＜＜b解析：由题知，0＜a＜b，由均值不等式可得＜(当且仅当a＝b时取等号)；故a＝＜＜＜＝b.故本题正确答案为B.答案：B2．(2019·西城高一检测)对于a＞0，b＞0，下列不等式中不正确的是(　　)A.＜＋B．ab≤C．ab≤D.2≤解析：选项A，取a＝b＝2，可得＝1，＋＝1，不满足＜＋，故选A.答案：A3．(2019·南阳高一检测)若a

2、，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)A．a2＋b2＞2abB．a＋b＞2C.＋＞D.＋≥2解析：由ab＞0知，a，b同号，排除B，C项，对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，所以排除A项，因为a，b同号，所以＞0，＞0，所以＋≥2(当且仅当a＝b时取等号)，所以D项正确．故本题正确答案为D.答案：D4．若x＞0，y＞0，且x＋y＝，则xy的最大值为(　　)A.B．2C.D.解析：由基本不等式可得xy≤＝()2＝，当且仅当x＝y＝时，xy取最大值，故选D.答案：D5．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下

3、列不等式成立的是(　　)A．a2＋b2＋c2≥2B．a＋b＋c≤C.＋＋≤2D．(a＋b＋c)2≥3解析：因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，于是a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝1，故A错；而(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)＝3，故选项D正确；从而选项B错误；令a＝b＝c＝，则ab＋bc＋ca＝1，但＋＋＝3＞2，故选项C错误．答案：D6．对于任意正数a，b，A是a，b的等差中项，G(G＞0)是a，b的等比中项，则A与G的大小关系是________．

4、解析：∵A＝≥＝G，∴A≥G.当且仅当a＝b时，等号成立．答案：A≥G7．已知t＞0，则y＝的最小值为________．解析：y＝＝t＋－3≥2－3＝－1，当且仅当t＝1时，取等号．故函数的最小值为－1.答案：－18．已知a＞1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是________．(用“＞”连接)．解析：∵a＞1，∴a2＋1＞2a＞a＋1，∴loga(a2＋1)＞loga(2a)＞loga(a＋1)，∴m＞p＞n.答案：m＞p＞n9．设a，b，c都是正数，试证明不等式

5、：＋＋≥6.证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋≥2，＋≥2，＋≥2，∴＋＋≥6，当且仅当＝，＝，＝，即a＝b＝c时，等号成立．即＋＋≥6.10．已知a，b都是正实数，且a＋b＝1.(1)求证：＋≥4；(2)求＋的最小值．解析：(1)证明：＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4.(2)＋≥2×，即＋≥，又∵≥得0＜ab≤，即≥4，∴1＋≥5.∴＋≥.当且仅当a＝b＝上式等号成立．[B组　能力提升]11．已知x，y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为(　　)A．3B．4C．5D．6解析：p＝x＋＋y＋＝3＋＋≥3＋2＝5.当且仅当x＝y

6、＝时，取“＝”．故选C.答案：C12．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)A．1≤ab≤B．ab＜1＜C．ab＜＜1D.＜ab＜1解析：由已知得a，b不可能同时为负，若a，b一正一负，则有ab＜0＜1，若a＞0且b＞0，又因为a≠b，则有＞，即1＞，所以ab＜1.又a2＋b2＞，即a2＋b2＞2，所以＞1，综上所述有ab＜1＜.答案：B13．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．解析：f(x)＝4x＋≥2＝4(x＞0，a＞0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时f

7、(x)取得最小值4.又由已知x＝3时，f(x)min＝4，∴＝3，即a＝36.答案：3614．已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，则z＝＋的最小值为________．解析：由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.则＋≥2＝2，故＝2，当且仅当5y＝2x时取等号．又xy＝10，即x＝5，y＝2时等号成立．答案：215．设实数x，y满足y＋x2＝0，且0＜a＜1.求证：loga(ax＋ay)＜＋loga2.证明：因为ax＞0，ay＞0，所以ax＋ay≥2，又因为0＜a＜1，所以loga(ax＋ay)≤loga2＝logaax

8、＋y＋loga2＝(x＋y)＋loga2，因为x2＋y＝0，所以loga(ax＋ay)≤(x－x2)＋loga2＝－＋＋loga2≤＋loga2.又上式中等号不能同时取到，所以原不等式得证．16．已知a，b为正实数，且＋＝2.(1)求a2＋b2的最