2021_2022学年高中数学第三章不等式3.1基本不等式课时素养评价含解析北师大版必修5.doc

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1、十九　基本不等式(20分钟　35分)1.设02【解析】选C.因为00,-logba>0,所以(-logab)+(-logba)=(-logab)+≥2,当且仅当ab=1时,等号成立,所以logab+logba≤-2.【补偿训练】(2020·宁波高一检测)下列不等式①a2+1>2a;②x2+≥1;③≥2;④sin2x+≥4,其中

2、恒成立的不等式的个数是(　　)A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①因为a2+1-2a=(a-1)2≥0,所以a2+1≥2a,故不恒成立;②因为x2+=x2+1+-1≥2-1=1,当x2+1=1时等号成立,所以x2+≥1正确;③若a<0,b<0,则<0,故不恒成立;④令t=sin2x∈(0,1],y=t+∈[5,+∞),故原不等式sin2x+≥4恒成立,所以恒成立的有2个.2.已知等比数列{an}中各项均为正数,公比q≠1,设P=,Q=,则P与Q的大小关系是(　　)A.PQC.P=QD.无法确定【解析】选B.由等比数列的性质

3、得Q==≤=P,又a2≠a9,故等号不成立,则P>Q.3.已知m>0,n>0,α=m+,β=n+,m,n的等差中项为1,则α+β的最小值为(　　)A.3B.4C.5D.6【解析】选B.由已知得m+n=2,所以α+β=m++n+=(m+n)+=2+.因为m>0,n>0,所以mn≤=1,所以α+β≥2+=4,当且仅当m=n=1时等号成立.所以α+β的最小值为4.4.设正数a,使a2+a-2>0成立,若t>0,则logatloga(填“>”“≥”“≤”或“<”).【解析】因为a2+a-2>0,所以a<-2或a>1,又a>0,所以a>1,因为t>

4、0,所以≥,所以loga≥loga=logat.答案:≤5.若a<1,则a+与-1的大小关系是　　　　. 【解析】因为a<1,即a-1<0,所以-(a-1+)=(1-a)+≥2=2.即a+≤-1.答案:a+≤-16.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ac≤;(2)++≥1.【证明】(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ac.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1.所以3(ab+bc+ac)≤1,即ab+bc+a

5、c≤.(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.(30分钟　60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020·宣城高一检测)下列不等式一定成立的是(　　)A.<1(x∈R)B.x+≥2(x≠0)C.x2+1≥2

6、x

7、(x∈R)D.lg>lgx(x>0)【解析】选C.对于A:因为x2≥0,所以≤1,故A不成立;对于B:当x>0时,x+≥2=2,当且仅当x==1时取等号;当x<0时,-x>0,x+=-≤-2=-2,当且仅当-x==1时取等号;故B错误;对于

8、C:因为(

9、x

10、-1)2≥0,所以x2+1≥2

11、x

12、,故C正确.对于D:lg>lgx(x>0)等价于x2+>x,即>0,故得x≠,而题设x>0,当x=时不成立.故D错误.2.若<<0,则下列不等式:①a+b

13、a

14、>

15、b

16、;③a2中,正确的不等式是(　　)A.①④B.②③C.①②D.③④【解析】选A.由于<<0,所以b

17、b

18、>

19、a

20、,所以②错误.③错误.④由于b1,有基本不等式得+>2=2,所以④正确.综上所述,正确不等式的序号是①④.3.已知a>0,

21、b>0,给出下列三个不等式:①≤;②≤;③+≥a+b.其中正确的个数是(　　)A.0B.1C.2D.3【解析】选D.依题意,因为a>0,b>0,所以≥≥≥,当且仅当a=b时等号成立,所以①②正确,因为+===≥=a+b,当且仅当a=b时等号成立,所以③正确.4.(2020·滨州高一检测)小王从甲地到乙地前后半程的时速分别为a和b(a0,b>0,所以a+b≥2当且仅当a=b时,取等号,又b>a,所以a+b>

22、2,所以v=<=且=>1,所以v=>a故a0,y>0,且x+y≤4,则下列不等式中恒成立的是(