2、og3x+logx81=log3x+4logx3≥2=4,当且仅当log3x=4logx3,即x=9时等号成立,故等号取不到,故D不满足.【补偿训练】在下列函数中,当x取正数时,最小值为2的是( )A.y=x+B.y=lgx+C.y=+D.y=x2-2x+3【解析】选D.当x取正数时,A选项中y≥4;B选项中y可为负值,C选项中>1,则y>2;只有D选项通过配方易得y≥2.2.已知正数x,y满足x+4y=4,则的最小值为( )A.2B.6C.18D.28【解析】选C.由于x+4y=4,则===+==10+
3、≥10+8=18,当且仅当x=8y时取等号,所以最小值为18.当且仅当=⇒x=8y⇒x=,y=时等号成立.3.(2020·海门高一检测)若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是( )A.18B.2C.2D.6【解析】选D.因为实数a,b满足a+b=2,所以3a+3b≥2=2=6,当且仅当3a=3b即a=b=1时取等号,所以3a+3b的最小值为6.4.(2020·烟台高一检测)设x>0,y>0,且+=2,则x+2y的最小值为 . 【解析】因为x>0,y>0,且+=2,所以+=1,由基本不等式可
4、得x+2y==++≥2+=,当且仅当x=y=时,等号成立,因此x+2y的最小值为.答案:5.已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为 . 【解析】因为a>0,b>0,所以a+b>0,又ab=1,所以++=++=+≥2=4,当且仅当a+b=4时取等号,结合ab=1,解得a=2-,b=2+,或a=2+,b=2-时,等号成立.答案:46.已知x>0,y>0,lgx+lgy=1,求+的最小值.【解析】由已知条件lgx+lgy=1,x>0,y>0,可得xy=10.则+=≥=2,所以=2,当且仅当即x=2,y
5、=5时等号成立.(30分钟 60分)一、单选题(每小题5分,共25分)1.已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b=( )A.-3B.2C.3D.8【解析】选C.y=x-4+=(x+1)+-5,因为x>-1,所以x+1>0,所以y≥2-5=2×3-5=1.当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立,即a=2,b=1,所以a+b=3.2.若实数x,y满足x>y>0,且+=1,则x+y的最小值为( )A.2 B.3 C. D.【解析】选D.方法一:实数x,y满足x>y>0,且+
6、=1,令x+y=m(x-y)+n(x+2y),得m=,n=,所以x+y=(x-y)+(x+2y)=[(x-y)+2(x+2y)]=[(x-y)+2(x+2y)]=≥(17+8)=.当且仅当=,即x+2y=2(x-y),x-y=5,x+2y=10,即x=,y=时,x+y=为所求.方法二:实数x,y满足x>y>0,且+=1,令x+y=z,则+=1,去分母,整理,得2y2+(z-15)y-z2+9z=0,由Δ=(z-15)2-8(-z2+9z)≥0,得3z2-34z+75≥0,即(z-3)(3z-25)≥0,解得z
7、≤3或z≥.当z=3时,y2-6y+9=0,得y=3,x=0,与x>y>0矛盾;当z=时,(3y-5)2=0,得y=,x=,即x+y=为所求.3.(2020·郑州高一检测)已知等比数列的前n项和为Sn=a·4n-1+b-1(a>0,b>0),则+的最小值为( )A.B.C.D.【解析】选D.当n=1时,S1=a+b-1,当n≥2时an=Sn-Sn-1=a·4n-1-a·4n-2=3a·4n-2,因为数列为等比数列,所以a1=a+b-1=,所以a+b=4,所以(a+b)=(+++3)≥(+2)=.4.正项等比
8、数列中,存在两项am,an使得=4a1,且a6=a5+2a4,则+的最小值是( )A.B.2C.D.【解析】选A.在等比数列中,因为a6=a5+2a4,所以a4q2=a4q+2a4,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去).因为=4a1,所以=4a1,即2m+n-2=16=24,所以m+n-2=4,即m+n=6,所以+=1,所以+==+++≥+2=+2×==,当且仅当=,即n=2m时取等号
