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《2021_2022学年高中数学第三章不等式3.2基本不等式与最大小值学案含解析北师大版必修5202103151229.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、高考3.2 基本不等式与最大(小)值学习目标1.理解与两正数和积相关的命题.(数学抽象)2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(逻辑推理)3.会用基本不等式解决简单的实际问题.(数学建模、逻辑推理)必备知识·自主学习导思1.如何记忆利用基本不等式求最值时是最大还是最小?2.利用基本不等式求最值时要满足什么条件?利用基本不等式求最值大前提条件结论三个注意点x,y均为正数若x+y=s,则当x=y时积xy取得最大值一正:x,y必须是正数;二定:和“x+y”为定值或积“xy”为定值;三相等:等号是否能够取到若xy=p,则当x=y时和x+
2、y取得最小值2在利用基本不等式求两个数或代数式的最值时必须注意的三个条件是什么?提示:①x,y必须是正数.②求积xy的最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为定值.③等号成立的条件是否满足.综上,解决问题时要注意“一正、二定、三相等”.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)高考(1)对于任意实数x,y,若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值s2.( )(2)若两个正数的积是定值p,则这两个正数的和一定有最小值2.( )(3)因为sinx·=1(x∈(0,2π))为定值,所以y=s
3、inx+有最小值.( )(4)若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集为M,则必有2∈M.( )提示:(1)×.条件中没有说明x,y∈(0,+∞),故错误.(2)×.等号不一定能取到,故错误.(3)×.sinx可正可负,故不满足两数都为正数,故错误.(4)√.把x=2代入不等式可得(1+k2)×2≤k4+4,即k4-2k2+2≥0,因为k4-2k2+2=+1≥1恒成立,故k4-2k2+2≥0成立.2.若x>0,则x+的最小值为( )A.2B.3C.2D.4【解析】选D.因为x>0,所以x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时等
4、号成立,所以x+的最小值为4.3.(教材二次开发:例题改编)(2020·某某高一检测)设a,b是实数且a+2b=3,则2a+4b的最小值为. 【解析】根据题意,有2a+4b≥2=2=2=2=4,当且仅当2a=4b时取最小值4.答案:4关键能力·合作学习类型一利用基本不等式求最值(逻辑推理)高考1.(2020·某某高一检测)已知x>2,y=x+,则y的最小值为( )A.2B.1C.4D.32.已知函数f(x)=x+(x<0),则下列结论正确的是( )A.f有最小值4B.f有最大值4C.f有最小值-4D.f有最大值-43.函数y=log
5、2(x>1)的最小值为. 【解析】1.选C.因为x>2,y=x+,所以y=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时取等号.2.选D.由题意,因为x<0,可得-x>0,则f(x)=x+=-≤-2=-4,当且仅当-x=,即x=-2时取等号,所以f(x)的最大值为-4.3.因为x++5=(x-1)++6≥2+6=8,所以log2≥3,所以ymin=3,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.答案:3利用基本不等式求最值的两种形式及相应的策略高考(1)形式一:积定和最小.当a,b都为正数,且ab为定值时,有a+b≥2(定值),
6、当且仅当a=b时,等号成立,此时a+b有最小值,即“积定和最小”.(2)形式二:和定积最大.当a,b都为正数,且a+b为定值时,有ab≤(定值),当且仅当a=b时,等号成立,此时ab有最大值,即“和定积最大”.以上两类问题可简称为“积大和小”问题.【补偿训练】已知t>0,则函数y=的最小值为. 【解析】y==t+-4≥2-4=-2,当且仅当t=,即t=1或t=-1(舍)时,等号成立,所以y的最小值为-2.答案:-2类型二利用基本不等式求X围(逻辑推理)角度1 一般求X围问题 【典例】已知x>0,y>0,且满足+=2,则8x+y的取值X围
7、是. 【思路导引】利用已知条件,使代数式8x+y能利用基本不等式求最值.【解析】因为x>0,y>0,+=2,则+=1,所以8x+y=(8x+y)=5++高考≥5+2=9.当且仅当=⇒y=4x⇒x=,y=3时,等号成立.所以,8x+y的取值X围是[9,+∞).答案:[9,+∞)已知a,b为正实数,向量m=(a,a-4),向量n=(b,1-b),若m∥n,则a+b的取值X围为. 【解析】因为m∥n,所以a(1-b)-b(a-4)=0,所以a+4b=2ab,所以+=1,且a,b为正实数,所以a+b==++2+≥2+=,当且仅当=时取“=”.所
8、以a+b的取值X围为.答案:角度2 含参数不等式的求参数问题 【典例】不等式
9、x2-3x
10、+x2+32≥kx恒成立,则k的取值X围是. 【思路导引】先分离参数,再利用基本不等式求最值,最后得出X围.【解析】
