2013年朝阳区期末高三数学试题(理科)及参考答案

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1、朝阳区2012～2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题（理工类）2013.1第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于A．B．C．D．2．“”是“直线与圆相交”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图．若输入，则输出的值是A．B．C．D．4．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点在双曲线上，且线段的中点坐标

2、为，则此双曲线的方程是A．B．C．D．5．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有A．140种B．120种C．35种D．34种1正视图正视图俯视图6．已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A．B．C．D．7．设集合，集合．若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是A．B．C．D．8．在棱长为1的正方体中，点、分别是线段、（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是A．B．C．D．第二部分（非

3、选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为．10．如图，、是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点．若，，则=，（用表示）．11．若关于、的不等式组（是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则．12．在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为．13．在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则．14．将整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值

4、为，最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数在上的最小值．16．（本小题满分14分）在长方体中，，点在棱上，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）在棱上是否存在点，使∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求棱的长．17．（本小题满分13分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞组距频率成绩（分）频率分布直方图0.0

5、40x▓0.008▓5060807090100y赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组[50，60）80.16第2组[60，70）a▓第3组[70，80）200.40第4组[80，90）▓0.08第5组[90，100]2b合计▓▓（Ⅰ）写出的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣

6、传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求的分布列及其数学期望．18．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．19．（本小题满分14分）已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点．且当时，△的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线、与直线分别交于、两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由．20．（本小题满分13分）

7、将正整数（）任意排成行列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．（Ⅰ）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（Ⅲ）对于由正整数排成的行列的任意数表，记其“特征值”为，求证：．北京市朝阳区2012～2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题答案（理工类）2013.1一、选择题：题号12345678

8、答案AACBDCBA二、填空题：题号91011121314答案；或；（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）三、解答题：15、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）………………2分……………………………………………4分所以函数的最小正周期为.…………………………………………6分由，，则.函数单调递减区间是，.………………………9分(Ⅱ)由，得.………………………………………11分则当，即时，