2013年西城区期末高三数学试题(理科)参考答案

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1、北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D；2．B；3．A；4．C；5．C；6．B；7．C；8．B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．；10．，；11．；12．；13．，；14．①③．注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解法一：因为，所以．………………3分因为，所以，从而，………………5分所以．

2、………………6分解法二：依题意得，所以，即．………………3分因为，所以，所以．………………5分所以．………………6分（Ⅱ）解法一：因为，，高三数学（理科）参考答案第7页（共7页）根据正弦定理得，………………7分所以．………………8分因为，………………9分所以，………………11分所以△的面积．………………13分解法二：因为，，根据正弦定理得，………………7分所以．………………8分根据余弦定理得，………………9分化简为，解得．………………11分所以△的面积．………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接与相交于点，连结．因为四边形为正方形，所以为中点．因为为棱

3、中点．所以．………………3分因为平面，平面，所以直线//平面．………………4分（Ⅱ）证明：因为平面，所以．………………5分因为四边形为正方形，所以，所以平面．………………7分所以平面平面．………………8分（Ⅲ）解法一：在平面内过作直线．高三数学（理科）参考答案第7页（共7页）因为平面平面，所以平面．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．…………9分设，则．所以，．设平面的法向量为，则有所以取，得．………………11分易知平面的法向量为．………………12分所以．………………13分由图可知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为．………………14分解法二：取中点，中点，

4、连结，．因为为正方形，所以．由（Ⅱ）可得平面．因为，所以．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．………………9分设，则．所以，．设平面的法向量为，则有所以取，得．………………11分易知平面的法向量为．………………12分高三数学（理科）参考答案第7页（共7页）所以．………………13分由图可知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为．………………14分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A为正品的概率约为．………………1分元件B为正品的概率约为．………………2分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量的所有取值为．………………3分；；；．………………7分所以，随机变量的分布列为:

5、………………8分．………………9分（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有件，则次品有件.依题意，得，解得．所以，或．………………11分设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件，则．………………13分18.（本小题满分13分）高三数学（理科）参考答案第7页（共7页）（Ⅰ）解：①当时，．故的单调减区间为，；无单调增区间．………………1分②当时，．………………3分令，得，．和的情况如下：↘↗↘故的单调减区间为，；单调增区间为．………………5分③当时，的定义域为．因为在上恒成立，故的单调减区间为，，；无单调增区间．………………7分（Ⅱ）解：因为，，所以等价于，其中．………

6、………9分设，在区间上的最大值为．………………11分则“，使得”等价于．所以，的取值范围是．………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线的方程为．………………1分将其代入，消去，整理得．………………4分从而．………………5分高三数学（理科）参考答案第7页（共7页）（Ⅱ）证明：设，．则．………………7分设直线的方程为，将其代入，消去，整理得．………………9分所以．………………10分同理可得．………………11分故．………………13分由（Ⅰ）得，为定值．………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．………………

7、3分（Ⅱ）解：不存在，使得．………………4分证明如下：假设存在，使得．因为，，所以，，，，，，，这个数中有个，个．令．一方面，由于这个数中有个，个，从而．①高三数学（理科）参考答案第7页（共7页）另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示，从而．②①、②相矛盾，从而不存在，使得．………………8分（Ⅲ）解：记这个实数之积为．一方面，从“行”的角度看，有；另一方面，从“列”的角度看，有．从而有．③………………10分注意到，．下面考虑，，，，，，，中的个数：由③知，上述个实数中，的个数一定为偶数，该偶数记为；则的个数为，所以．