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1、高等数学期末复习第九章多元函数微分学一、内容要求1、会求简单二元函数定义域2、会求多二元函数表达式和值3、会求简单二元函数的极限4、掌握二元函数偏导数定义，性质，能确识别二元函数偏导数定义形式，得出偏导数正确表达5、会求二元函数偏导数值：求偏导函数，代入点求值6、会求二元函数微分值：求偏导函数，代入点求微分表达式7、会按一元函数求导法则求直接函数的偏导数8、会由轮换对称性确定多元函数对称元导数9、会用链式规则求抽象形式多元函数的偏导数10、会求多元函数全微分11、会求多元隐函数的偏导数12、会求二元函数驻点，判定二元函数极值的存
2、在性13、能观察出简单多元函数极值情况14、能应用多元函数求极值方法解决简单应用问题15、会求空间曲面的切平面、法线方程16、会求空间曲线的切线、法平面方程17、会求多元函数的方向导数18、会求多元函数的梯度二、例题习题1、二元函数zarcsiny的定义域是()xA.{(x,y)
3、
4、y
5、
6、x
7、}B.{(x,y)
8、
9、y
10、
11、x
12、x0}C.{(x,y)
13、
14、y
15、
16、x
17、x0}D.{(x,y)
18、
19、y
20、
21、x
22、x0}解：使函数zarcsiny有意义，只要
23、y
24、1,x0，即
25、y
26、
27、x
28、,x0，所以，选B.（内xx容要求1）12、函数f(x,y)l
29、n(xy)的定义域为；x2y2解：使函数f(x,y)ln(xy)212有意义，只要xy0,x2y20，所以填xy{(x,y)
30、xy0,x2y20}（内容要求1）3、设f(xy,xy)x2y2,则f(x,y)().(A)x2y2(B)x2y2(C)(xy)2(D)xy解：令uxy,vxy，则xuv,yuv，于是22f(xy,xy)x2y2f(u,v)uv即由函数与自变量记号选取无关性有f(x,y)xy。所以选D。（内容要求2）4、设f(x,y)x2y2，则f(2,3)；2xy解：f(2,3)4913，所以填13。（内容要求2）12
31、12125、limxy11()；xy(x,y)(0,0)A.1B.1C.1D.024limxy11lim(xy11)(xy11)11解：xyxy(xy11)limxy112(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)所以选A。（内容要求3）6、limsinxy；x(x,y)(0,0)解：limsinxylim[sinxyy]limsinxylimy0(x,y)(0,0)x(x,y)(0,0)xy(x,y)(0,0)xy(x,y)(0,0)所以填0。（内容要求3）7、limsinxy；y(x,y)(2,0)解：li
32、msinxysinxylimx2，所以填2。（内容要求3）ylimxy(x,y)(2,0)(x,y)(2,0)(x,y)(2,0)8、函数f(x,y)在点(0,0)处存在偏导数，则limf(0,0)f(2x,0))；x(x0A．1fx(0,0)B．1fx(0,0)C．2fx(0,0)D．2fx(0,0)22解：由偏导数定义，limf(0,0)f(2x,0)2limf(2x,0)f(0,0)2fx(0,0)x0xx02x所以选C。（内容要求4）9、函数f(x,y)在点(0,0)处存在偏导数，则limf(0,0)f(0,y)()；y
33、02yA．1fy(0,0)B．1fy(0,0)C．2fy(0,0)D．2fy(0,0)22解：由偏导数定义，limf(0,0)f(0,y)1limf(0,y)f(0,0)1fy(0,0)y02y2y0y2所以选B。（内容要求4）10、函数f(x,y)在点(x0,y0)处存在偏导数，则limf(x0,y0)f(x0x,y0)x0x()；A．fx(x0,y0)B．fx(x0,y0)C．fy(x0,y0)D．fy(x0,y0)解：由偏导数定义，limf(x0,y0)f(x0x,y0)limf(x0x,y0)f(x0,y0)fx(x0,
34、y0)x0xx0x所以选A。（内容要求4）11、函数f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在是f(x,y)在点(x0,y0)处连续的()；A．充分必要条件B．必要条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件解：选D。（内容要求4）12、设函数f(x,y)x2xy，则fy(1,1)().(A)1(B)21(D)3(C)2解：fy(x,y)x，所以fy(1,1)15）2y，所以选C。（内容要求2y2，则2z().13、设zxxy(1,1)(A)2(B)1(C)2(D)1解：zy2,2z2y，所以2z2，所以选C。（内容要求5）xx2x
35、yx2xy(1,1)14、zln(1x2y2)，则dz
36、x1y2z2xz2y2，所以，z1z2解：x1x2y2,2y
37、x1,
38、x13，故y1xxy23yy2dz
39、x11dx2dy，所以填dz
40、x11dx2dy。（内容要求6）y233y23315、设z1ln(1x
