资源描述：
《高等数学 多元函数微分学复习.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六章多元函数微分学及其应用6.1多元函数的基本概念一、二元函数的极限定义f(P)=f(x，y)的定义域为D,是D的聚点.对常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点P(x，y)∈D，即时，都有
2、f(P)–A
3、=
4、f(x，y)–A
5、<成立，那么就称常数A为函数f(x，y)当(x，y)→时的极限，记作或f(x，y)→A((x，y)→),也记作或f(P)→A(P→)为了区别于一元函数的极限，上述二元函数的极限也称做二重极限.二、二元函数的连续性f,如果函数f(x,y)在D的每一点都连续，那么就称函数f(x,y)在D上连续，或者称f(x,y)是D上的
6、连续函数.如果函数f(x,y)在点不连续，则称为函数f(x,y)的间断点.多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.多元初等函数的极限值就是函数在该点的函数值，即.有界性与最大值最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。三、例题例1设，已知，求的表达式。解由题设，有，于是22，即。例2证明极限不存在。证当沿三次抛物线趋于时，有其
7、值随k去不同值而取不同值。故极限不存在。例3求极限。解原式6.2偏导数与高阶导数6.2.1偏导数一、概念，说明1对求导视为常数，几何意义也说明了这个问题二元函数z=f(x,y)在点(,)的偏导数有下述几何意义.偏导数，就是曲面与平面的交线在点处的切线对x轴的斜率.同样，偏导数的几何意义是曲面与平面x=的交线在点处的切线对y轴的斜率.2基于如上理由，求时，可先代入，（因此可能简化函数）再对求导例，求。解，，22一、可微，偏导数存在，连续的关系可微，偏导数连续可微，和都连续，则=;二、高阶偏导数设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数，则这两个函数的偏
8、导数称为函数z=f(x,y)的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：三、偏导数，微分运算公式1．，，2．3．确定，；6.2.2求偏导数算例例1（1），求，，，。解22由对称性，；；（2），求。解，由对称性，故。（3），求，解，同理；例2，求，。解例3，求解22例4，求。解（1）；故解（2）例5设由方程，确定，F有连续一阶偏导数，求，。解（1）方程两边对求导；方程两边对求导；解（2）方程两边取微分22则；；例6设，由确定可微，求。解（1）对方程取微分由（1）解得代入（2）得则，即解（2）而；，则例7证明：当，时，方程可化成标准形式，
9、其中二阶偏导数连续。22证明：将看成由，而，复合成的函数，则；；则小结①显函数（复合）二阶混合偏导数②隐函数求偏导，会用微分法，用复合法习题1．，由方程确定的的函数，可微，连续，，求（答案：0）（蔡P146），，2．由确定，求；，，3．确定了隐函数，具有连续二阶偏导数求，，，224．设是由方程和确定，有连续偏导数，求。5．，可微且满足，证明。6．于点可微，且，，。。求。7．设变换可把方程化简为，求常数的值。（a＝3）。8．设有连续二阶导数，而满足，求。（）6.2偏导数应用偏导数应用注意四个方面：空间曲面曲线切平面、法线、切线、法平面；方向导数；梯度、
10、散度、旋度；极值与条件极值。6.3.1内容小结1．空间曲线切线与法平面1）切向量切线方程：22法平面方程：2）类似的切线方程：法平面方程：3）1．空间曲面切平面与法线1）切平面：法线：2）类似地切平面：法线：3）*（参数方程形式）切线2．方向导数22（梯度在方向投影）1．梯度、散度、旋度6.3.2例题例1求曲线上与平面平行的切线方程。解切向量，由，则，即，当时，切线方程为当时，切线方程为例2求空间曲线在点处的切线方程和法平面方程。解确定了，对x求导，于点：切线方程为法平面方程为，即22例3求曲面的切平面。使之与平面垂直，同时也与垂直。解切平面法向量，
11、，，依题意既有（1）（2）联立（1）（2）和原方程得解，，切平面即得即例4求在点沿的外法线方向的方向导数。解令，于点，例5设在点可微，，试确定使。22解，，则设从而即，解得或此时或即或例6，求。解。，，由对称性，从而例7设a,b,c为常数，有连续一阶偏导数。证明上任一点切平面都通过某定点。证，，则切平面方程为22取，则对任一的点上式均满足，即过任一点的切平面都过点。例8设为常数，证明曲面上任一点切平面都与某定直线平行（F具有连续偏导数）。证，，，即，取，则，，曲面平行l，取直线，则曲面上任一点的切平面都与上述直线平行。例9求二元函数在点沿方向的方向导
12、数，并指出在该点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？沿那个方向减少得最快，沿哪个方向的值不
