高考数学大二轮专题复习：第二编导数的热点问题.doc

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1、新高考二轮复习·数学(新课程版)第3讲　导数的热点问题「考情研析」　利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数的零点、方程的根及不等式相结合，难度较大．解题时要注意分类讨论思想和转化与化归思想的应用．核心知识回顾1.利用导数解决与函数有关的方程根的问题(1)利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程根的个数问题的一般思路①将问题转化为函数零点的个数问题，进而转化为函数图象交点的个数问题；②利用导数研究该函数在给定区间上的单调性、极值(最值)、端点值等；③画出函数的大致图象；④结合图象求解．(2)证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤①在该区间上构造与方程

2、对应的函数；②利用导数研究该函数在该区间上的单调性；③判断该函数在该区间端点处的函数值异号；④作出结论．2．利用导数证明不等式不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值，新高考二轮复习·数学(新课程版)再由单调性或最值来证明不等式，其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．热点考向探究考向1　利用导数讨论方程根的个数例1　(2020·海南省海口市模拟)已知函数f(x)＝，其中k≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若k＞0，讨论关于x的方程

3、lnx

4、＝f(x)在区间(0，2)上实根的个数．解　(1)由条件，得f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝2.当k

5、＞0时，由f′(x)＞0，得x＜2，由f′(x)＜0，得x＞2.所以f(x)的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞).当k＜0时，由f′(x)＞0，得x＞2，由f′(x)＜0，得x＜2.所以f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，2).(2)因为

6、ln1

7、＝f(1)＝0，所以x＝1是方程

8、lnx

9、＝f(x)的一个实根．当0＜x＜1时，由(1)知f(x)单调递增，所以f(x)＜f(1)＝0.而

10、lnx

11、＝－lnx＞0，所以方程

12、lnx

13、＝f(x)在区间(0，1)上无实根．当1＜x＜2时，

14、lnx

15、＝lnx.新高考二轮复习·数学(新课程版)设F

16、(x)＝lnx－，则F′(x)＝－＝.设u(x)＝ex＋kx2－2kx，当1＜x＜2时，u′(x)＝ex＋2kx－2k＞0，所以u(x)在(1，2)上单调递增．①当u(1)＝e－k≥0，即k≤e时，在区间(1，2)上，总有u(x)＞u(1)≥0，从而F′(x)＞0，所以F(x)在(1，2)上单调递增，F(x)＞F(1)＝0，即原方程在(1，2)上无实根．②当u(1)＝e－k＜0，即k＞e时，因为u(2)＝e2＞0，所以存在x0∈(1，2)，满足u(x0)＝0，所以在(1，x0)上，u(x)＜0，F(x)单调递减，在(x0，2)上，u(x)＞0，F(x)单调递增，又因为F(1)

17、＝0，F(2)＝ln2－，所以当F(2)＞0，即e＜k＜e2ln2时，原方程在(1，2)上有唯一实根，当F(2)≤0，即k≥e2ln2时，原方程在(1，2)上无实根．综上所述，当0＜k≤e或k≥e2ln2时，原方程在(0，2)上仅有一个实根；当e＜k＜e2ln2时，原方程在(0，2)上有两个实根．新高考二轮复习·数学(新课程版)根据参数确定函数零点的个数，基本思想也是“数形结合”，即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)大致勾画出函数图象，然后通过函数性质得出其与x轴交点的个数或两个函数图象交点的个数，基本步骤是“先数后形”．已知函数f(x)＝ln－ax＋(a

18、>0，b>0)，对任意x>0，都有f(x)＋f＝0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)存在三个不同的零点时，求实数a的取值范围.解　(1)由f(x)＋f＝ln－ax＋＋ln－＋＝0，得b＝4a，则f(x)＝ln－ax＋，f′(x)＝－a－＝(x>0)，若Δ＝1－16a2≤0，即a≥时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，若Δ＝1－16a2>0，即00，x2＝>0，又h(x)＝－ax2＋x－4a的图象开口向下，所以当0

19、>0，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>x2时，h(x)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减．新高考二轮复习·数学(新课程版)综上所述，当a≥时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当0