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1、系数的扩充和复数的导入知识导图一、概念1、虚数单位引入一个新数i，i叫作虚数单位，并规定：a、i2=-1b、实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、减运算律仍然成立。典例：i是虚数单位，计算i+i2+i3=()A、-1B、1C、-iD、i注意:i4n=1,i4n+2=-1;i4n+1=i，i4n+2=-i.变式训练：i是虚数单位，若集合S={-1,0,1},则（）A、i∈sB、i2∈sC、i3∈sD、2/i∈s2、复数和复数集我们把C=｛a+bi
2、a,b∈R}中的数，即形如a+bi（a,b∈R）的数叫复数。全体复数所形成的集合C叫作复数集。注意：(1)当且
3、仅当b=0时，a+bi是实数。(2)当且仅当a=b=0时，a+bi是实数0。(3)当b≠0时，a+bi是虚数。(4)当a=0且b≠0时，叫作纯虚数。典例：下列命题中：a、若a∈R,则（a+1)i是纯虚数；b、若a,b∈R且a>b，则a+i3>b+i2.C、若（x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=1.d、两个虚数不能比较大小。其中，正确命题的个数为（）A、1B、2C、3D、4变式训练：对于复数a+bi(a,b∈R),下列结论正确的是（）A、a=0a+bi为纯虚数B、b=0a+bi为实数C、a+(b-1)i=3+2ia=3,b=-3D、-1的平方等于i.3
4、、复数的表示复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫作复数的代数形式。其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部。典例：设a,b∈R.a=0是复数a+bi是纯虚数的（）A、充分而不必备条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4、复数相等在复数集C=｛a+bi
5、a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di（a,b,c,d∈R），我们规定：a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d.典例：若x∈R，试确定实数a的值，使等式3x2-a/2x+(2x2+x)i=1+10i成立。变式训练：已知z1=(cosa-4/5)+i(sin
6、a-3/5),z2=cosb+isinb,且z1=z2求cos(a-b)的值。5、复数的分类实数集R是复数集C的真子集，即RC。这样，复数z=a+bi可以分类如下：实数（b=0)复数虚数（b≠0)(当a=0时为纯虚数）典例：已知复数实数a取什么值时，z是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？6、复数的几何意义1、根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi,都可以由一个有序实数对（a,b)唯一确定。因为有序实数对（a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应。YbZ=a+biOaX如上图所示，点Z的横坐标是a,纵坐标是b，
7、复数z=a+bi可用点z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴。显然实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数。复数z=a+bi↔复平面点z（a,b)成一一对应的关系。复平面上的点都可以表示复数，复数都可以在复平面上表示，且唯一确定。2、在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样，我们还可以用平面向量来表示复数。YbZ=a+biOaX如图所示，设复平面内一点z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量OZ由点Z唯一确定；反过来，点Z（相对于原点来说）也可以由向
8、量OZ唯一确定。因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的（实数0与零向量一一对应）。复数z=a+bi↔平面向量OZ成一一对应关系.7、复数的模1、复数的模向量OZ的模r叫作复数z=a+bi的模，记作
9、z
10、或
11、a+bi
12、.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a,它的模等于
13、a
14、（就是a的绝对值）。由模的定义有：
15、z
16、=
17、a+bi
18、=r=√a2+b2(r≧0,r€R)2、模的几何意义
19、z
20、=
21、OZ
22、，即点z(a,b)到原点O的距离。一般地，
23、z1-z2
24、即为复平面内点z1到z2的距离。典例：已知复数z的模为2，求
25、z-1
26、的最大值。变式训练：如果
27、z-4-
28、3i
29、≦3，求
30、z
31、的取值范围。易错题已知x满足x2+(x+2)i=2i，求x的值。知识导图二、四则运算1、复数加法法则（z1,z2∈C)1、设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，则z1+z2=(a+c)+(b+d)i.2、运算率：Z1+Z2=Z2+Z1(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)3、几何意义设向量oz1与向量oz2分别与复数a+bi,c+di对应，则向量oz1=（a,b),向量oz2=(c,d),由平面向量的坐标运算，得oz1+oz2=(a+c,b+d).2、复数的减法运算(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
