2021届新高考地区专用数学二轮必刷题11导数与函数的单调性、极值与最值（解析版）.docx

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1、专题11导数与函数的单调性、极值与最值 1．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex-12ae2x+ax只有一个极值点，则实数a的取值范围是（　　）A．（﹣∞，0]∪[12，+∞）B．（﹣∞，0]∪[13，+∞）C．（﹣∞，0]∪[14，+∞）D．（﹣∞，-13]∪[0，+∞）【解析】解：∵f（x）＝（x﹣1）ex-12ae2x+ax，∴f'（x）＝xex﹣ae2x+a，∵f（x）只有一个极值点，∴f'（x）只有一个变号零点．（1）当a＝0时，f'（x）＝xex，易知x＝0是f（x）的唯一极值点；（2）当a≠0时，方程f'（x）＝xex﹣ae2x+a＝0可化为

2、1ax＝ex﹣e﹣x，令g（x）=1ax，h（x）＝ex﹣e﹣x，可得两函数均为奇函数，∴只需判断x＞0时，两函数无交点即可．①当a＜0时，g（x）=1ax＜0，h（x）＝ex﹣e﹣x＞0，所以g（x）与h（x）有唯一交点x＝0，且当x＞0时，g（x）＜h（x）；当x＜0时，g（x）＞h（x）．∴x＝0是f（x）的唯一极值点；②当a＞0时，h'（x）＝ex+e﹣x＞0，即h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（0）＝0，limx→+∞h(x)=+∞，设h（x）过原点的切线为y＝kx，切点为（m，km）（m＞0），则em+e-m=kkm=em-e-m，解

3、得m＝0，k＝2，如图所示，当y=1ax在直线y＝2x下方（第一象限）或与y＝2x重合时，x＝0是唯一交点，能满足f'（x）＝0的变号零点，即函数f（x）的极值点，∴a≥12．32/32综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪[12，+∞）．故选：A． 2．若x1，x2（x1＜x2）为函数f（x）相邻的两个极值点，且在x1，x2处分别取得极小值和极大值，则定义f（x1）﹣f（x2）为函数f（x）的一个极优差，函数f(x)=ex(sinx-cosx)(-π2≤x≤2020π)的所有极优差之和为（　　）A．eπ(1-e2020π)1-e2πB．-1-e2

4、021π1-eπC．-1-e2020π1-e2πD．-1-e2020π1-eπ【解析】解：∵f（x）＝ex（sinx﹣cosx），∴f'（x）＝2exsinx，当x∈（2kπ，2kπ+π），k∈Z时，f（x）单调递增；当x∈（2kπ+π，2kπ+2π），k∈Z时，f（x）单调递减．故当x∈[-π2，2020π]，所有的极优差之和为[f（0）﹣f（π）]+[f（2π）﹣f（3π）]+…+[f（2018π）﹣f（2019π）]．令M＝f（π）+f（3π）+…+f（2019π）＝eπ（sinπ﹣cosπ）+e3π（sin3π﹣cos3π）+…+e2019π（

5、sin2019π﹣cos2019π）＝eπ+e3π+…+e2019π=eπ[1-(e2π)1010]1-e2π；N＝f（0）+f（2π）+…+f（2018π）＝e0（sin0﹣cos0）+e2π（sin2π﹣cos2π）+…+e2018π（sin2018π﹣cos2018π）＝﹣（e0+e2π+…+e2018π）=-e0[1-(e2π)1010]1-e2π．32/32∴所有的极优差之和为N﹣M=-e0[1-(e2π)1010]1-e2π-eπ[1-(e2π)1010]1-e2π=-(1-e2020π)(1+eπ)1-e2π=-1-e2020π1-eπ．

6、故选：D． 3．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）+a，对任意的x≥1，都有f（x）≤0，则实数a的取值范围是（　　）A．（0，1）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．[12，+∞)【解析】解：f（x）＝x（lnx﹣ax）+a＝xlnx﹣a（x2﹣1），当x≥1时，xlnx≥0，x2﹣1≥0，若a≤0，则当x＞1时，f（x）＞0，这与f（x）≤0矛盾，故a＞0，f′（x）＝lnx﹣2ax+1，令g（x）＝lnx﹣2ax+1（x≥1），则g′（x）=1x-2a=1-2axx，若a≥12时，则g′（x）≤0，f′（x）在[1，+∞）递减，于是当x≥1时，

7、f′（x）≤f′（1）＝1﹣2a≤0，故f（x）在[1，+∞）递减，于是当x≥1时，f（x）≤f（1）＝0，符合题意，若0＜a＜12，则当1＜x＜12a时，g′（x）＞0，f′（x）在（1，12a）递增，f′（x）＞f′（1）＝1﹣2a＞0，故f（x）在（1，12a）上递增，于是当1＜x＜12a时，f（x）＞f（1）＝0，这与f（x）≤0矛盾，故a≥12，故选：D． 4．若函数f（x）＝x+ex﹣b﹣b（x+x2﹣xlnx）有零点，则b的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣1]B．[﹣1，0]C．（0，1]D．[1，+∞）32/32【解析】解：f（x）＝x

8、[1+ex-bx-b（1+x﹣lnx）]函数f（x）＝x+ex﹣b﹣b（x+x2﹣xlnx）有