【步步高】2014届高三数学大一轮复习8.6空间向量及其运算教案理新人教A版.doc

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1、§8。6　空间向量及其运算2014高考会这样考　1。考查空间向量的线性运算及其数量积；2.利用向量的数量积判断向量的关系与垂直；3。考查空间向量基本定理及其意义．复习备考要这样做　1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算;2。掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积．1．空间向量的有关概念（1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3）共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量．（4)共面向量：平行于同一个平面的向量．2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1）共线向量定理对空间任意两个

2、向量a,b（b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.推论　如图所示，点P在l上的充要条件是＝＋ta①其中a叫直线l的方向向量,t∈R，在l上取＝a,则①可化为＝＋t或＝（1－t)＋t.（2）共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb,其中x,y∈R，a,b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝__1__.(3)空间向量基本定理如果三个向量a,b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z｝，使得p＝xa＋yb＋zc,把{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律（1）数量积及相关概念

3、①两向量的夹角已知两个非零向量a,b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a,b〉，其范围是0≤≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b。②两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b，则｜a

4、

5、b

6、cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b

7、cos〈a，b〉．（2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b）；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c。4．空间向量的坐标表示及应用（1)数量积的坐标运算设a＝（a1,a2，a3），b＝（b1,b2，b3)，则a·b＝a1

8、b1＋a2b2＋a3b3。(2)共线与垂直的坐标表示设a＝（a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1,a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R），a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0（a，b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3），b＝(b1,b2，b3）,则

9、a

10、＝＝，cos〈a，b>＝＝。设A（a1，b1,c1），B（a2，b2,c2），则dAB＝

11、

12、＝.[难点正本　疑点清源］1．空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似，故在学习空间向量时，如果注意与平面向量的相关

13、内容相类比进行学习,将达到事半功倍的效果．比如:（1)定义式：a·b＝

14、a｜｜b｜cos〈a,b〉或cos

15、·(a－b）＝－20－5＋12＝－13。2．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0;②｜a｜－

16、b

17、＝

18、a＋b

19、是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z（其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．其中不正确的所有命题的序号为__________．答案　②③④解析　①中四点恰好围成一封闭图形,正确;②中当a、b同向时，应有｜a

20、＋｜b｜＝

21、a＋b

22、；③中a、b所在直线可能重合;④中需满足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四点共面．3．同时垂直于a＝（2，2，1)和b＝(4，5，3）的单位

23、向量是____________________．答案　或解析　设与a＝(2,2，1)和b＝(4,5，3)同时垂直b单位向量是c＝（p，q,r),则解得或即同时垂直a，b的单位向量为或。4．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋c答案　A解析　＝＋＝＋（－)＝c＋(b－