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1、一轮复习正弦定理和余弦定理正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容===2R(R是△ABC外接圆的半径)在△ABC中，有a2=_______________;b2=_____________；c2=______________b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosC【解析】(1)正确.∵A＞B,∴a＞b,∴由正弦定理可得又sinB＞0,∴sinA＞sinB.(2)错误.正弦定理对任意三角形均成立.(3)错误.当已知三个角时不能求三边.(4)正确.由余弦定理推导过程可知对任意三角形均
2、适用.(5)错误.余弦定理可以实现角化边，也能实现边化角.答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×1.在△ABC中，a=3,A=30°,B=60°，则b等于()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.由正弦定理得2.在△ABC中，a=4,C=30°，则边c等于()(A)(B)2(C)(D)3【解析】选B.由余弦定理得∴c=2.3.△ABC满足acosB=bcosA，则△ABC的形状为()(A)直角三角形(B)等边三角形(C)等腰三角形(D)等腰直角三角形【解析】选C.由acosB=bcosA及正弦定理得，sinAco
3、sB=sinBcosA，即sinAcosB-cosAsinB=0,故sin(A-B)=0.∵A,B为△ABC的内角，∴A-B=0，∴A=B,所以△ABC是等腰三角形.4.在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝______.【解析】A＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝答案：5.在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A等于______.【解析】由已知得b2＋c2－a2＝－bc，又∵0＜A＜π，答案：考向1正弦定理的应用【典例1】(1)(201
4、3·唐山模拟)在△ABC中,a=1,b=则B=()(A)(B)(C)(D)(2)(2013·岳阳模拟)如图,在△ABC中，点D在BC边上，①求sin∠ABD的值;②求BD的长.【思路点拨】(1)利用正弦定理求解即可.(2)①利用∠ABD=∠ADC-∠BAD及两角差的正弦公式求解；②利用正弦定理求解.【规范解答】(1)选C.由正弦定理可得,又或(2)①因为所以sin∠ADC因为所以因为∠ABD=∠ADC-∠BAD,所以sin∠ABD=sin(∠ADC-∠BAD)=sin∠ADCcos∠BAD-cos∠ADCsin∠BAD=
5、②在△ABD中，由正弦定理，得所以【规律方法】1.三角形解的情况已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则有两解、一解、无解三种情况.2.解三角形中的常用公式和结论(1)A+B+C=π.(2)0＜A，B，C＜π，sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC，tan(A+B)=-tanC.(3)三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然;三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.【变式训练】在△ABC中，求角A，C和边c.【解析】由正弦定理得,∵a＞b,∴A=60°或A
6、=120°.当A=60°时，C=180°-45°-60°=75°,当A=120°时，C=180°-45°-120°=15°,考向2余弦定理的应用【典例2】(1)(2013·台州模拟)在△ABC中，(2a-c)cosB=bcosC,则角B等于()(A)(B)(C)(D)(2)(2013·济南模拟)已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，则cosC等于()(A)(B)(C)(D)(3)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足则边a=()(A)(B)(C)(D)4【思路点拨】(1)利用余弦定
7、理代入整理转化可求.(2)利用已知条件及正弦定理得a,b,c的关系，再利用余弦定理可求.(3)利用已知可得cosA及b，c的值，从而利用余弦定理可求a.【规范解答】(1)选C.由(2a-c)cosB=bcosC得得a2+c2-b2=ac,∴又∵0＜B＜π,∴(2)选B.由sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4,及得a∶b∶c=3∶2∶4.故设a=3k,则b=2k,c=4k,故(3)选C.因为所以由得bccosA=3，所以bc=5.由bc=5，且b+c=6，解得由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=20,故【互动
8、探究】若将本例题(3)中的“b+c=6”改为“”，如何求a?【解析】由得故又由得故∴即【规律方法】正、余弦定理的相互转化正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化.如a2=b2+c2-2bccosA可以转化为sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA，利用这些变形可进行等式的
