2、,它具有“在互不重叠的区间上,状态的增量是相互独立的”这一特征.随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程.计数过程的一个典型的样本函数如图将增量它表示时间间隔(t0,t]内出现的质点数.“在(t0,t]内出现k个质点”,即{N(t0,t)=k}是一随机事件,其概率记为Pk(t0,t)=P{N(t0,t)=k},k=0,1,2,….2.泊松过程:计数过程{N(t),t≥0}称为强度为λ的泊松过程,如果满足条件:(2)N(0)=0;(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性;(3)对于充分小的其中常数
3、λ>0,称为过程N(t)的强度.(亦即在充分小的时间间隔中事件出现一次的概率与时间间隔的长度成正比)(4)对于充分小的在泊松过程中,相应的质点流即质点出现的随机时刻称为强度为λ的泊松流.可以证明泊松过程的增量的分布律为由上式易知增量N(t0,t)=N(t)-N(t0)的概率分布是参数为λ(t-t0)的泊松分布,且只与时间t-t0有关,所以强度为λ的泊松过程是一齐次的独立增量过程.泊松过程也可以用另一种形式的定义:即若计数(2)它是独立增量过程;过程{N(t),t≥0}满足下面三个条件:(3)对任意的t>t0≥0,增量(1)N(0)=0.可以证
4、明这两个定义等价.由泊松分布知特别地,令t0=0,由于假设N(0)=0,故可推知,即泊松过程的强度λ(常数)等于泊松过程的均值函数和方差函数分别为单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值.泊松过程的协方差函数而相关函数于是，有定理1：设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程，则有例1:(泊松过程在排队论中的应用)在随机服务系统中的排队顾客数，都可以用泊松过程来描述。以某火车站售票处为例，解:我们用一个泊松过程来考虑.设8:00为0时刻则9:00为1时刻现象的研究中，经常用到泊松过程的模型，例如：到达电话总机的呼叫数目，到达某服务设施(商店、车
5、站、购票处等)的设从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以10人/小时的平均速率到达，则从9:00-10:00这一小时内最多有5名乘客来此购票的概率是多少？从10:00-11:00没有人来购票的概率是多少？则参数λ=10,故例2:(事故的发生次数及保险公司接到的索赔数)若以N(t)表示保险公司受到的赔偿请求的次数(设一次事故就导致一次索赔)。解:设一年开始为0时刻,一月末为1,2月末为2,…,则年末为12.均值某公路交叉口、矿山、工厂等场所在(0,t]时间内发生不幸事故的数目，则泊松过程就是{N(t),t≥0}的一种很好近似，因而向3.1
6、5的投诉(设商品出现质量问题为事故)等都是可以应用泊松过程的模型。我们考虑一种最简单情况，设保险公司每次赔付都是1，接到的索赔要求是平均4次/月，则一年中它要付出的金额平均为多少？为什么实际中有这么多的现象可以用泊松过程来反映呢?其根据是稀有事件原理.我们在概率论的学习中已经知道,贝努里试验中,每次试验成功的概率很小而试验的次数很多时,二项分布会逼近泊松分布.这一想法很自然地推广到随机过程,比如上面提到的事故发生的例子,在很短的时间内发生事故的概率是于贝努里试验以及二项分布逼近泊松分布时的假定.这就是泊松过程定义所描述的直观意义.很小的.但假
7、如考虑很多个这样很短的时间的连接,事故的发生将会有一个大致稳定的速率,这很类似3、到达时间间隔与等待时间的分布下面介绍与泊松过程有关的两个随机变量，即到达时间间隔与等待时间。为叙述直观起见，设泊松过程{N(t),t≥0}表示[0，t]内到达的顾客数。令X1表示第一个顾客到达的时刻，Xn，n>1表示第n-1个顾客与第n个顾客到达的时间间隔，{Xn,n=1,2,…}称为到达时间间隔序列。定理2：强度为λ的泊松过程{N(t),t≥0}的到达时间间隔序列{Xn,n=1,2,…}是相互独立的随机变量序列，并且具有相同的均值为（1/λ）的指数分布。这里下
8、面用Wn表示第n个顾客的到达时间，则Wn=X1+X2+…+Xn,n≥1称Wn为直到第n个顾客出现的等待时间。的Γ分布。注:若随机变量X的概率密度函数为其中则称X服从
