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1、第八节-解三角形总纲目录教材研读1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型考点突破2.实际问题中的常用角3.解关于解三角形的应用题的一般步骤考点二 测量高度问题考点一 测量距离问题考点三 测量角度问题1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型:测量距离、高度、角度问题,计算面积问题等.教材研读简单的三角方程的通解sinα=sinβ⇔α=kπ+(-1)kβ(k∈Z);cosα=cosβ⇔α=2kπ+β或α=2kπ-β(k∈Z);tanα=tanβ⇔α=kπ+β(k∈Z).1.在某次测量中,在A处测得同一半平面方
2、向的B点的仰角是60°,C点的俯角为70°,则∠BAC等于( )A.10°B.50°C.120°D.130°答案DD2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为( )A.akm B.akm C.akm D.2akm答案B 在△ABC中,∠ACB=180°-(20°+40°)=120°,∵AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°=a2+a2-2a2×=3a2,∴AB=
3、a(km),故选B.B3.在上题的条件下,灯塔A相对于灯塔B的方向为( )A.北偏西5°B.北偏西10°C.北偏西15°D.北偏西20°B答案B 易知∠B=∠A=30°,C在B的北偏西40°的方向上,又40°-30°=10°,故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10°.4.如图所示,D,C,B三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别为60°,30°,则A点离地面的高度AB等于( )A.B.C.aD.B答案B 因为∠D=30°,∠ACB=60°,所以∠CAD=30°,故CA=CD=a,
4、所以AB=asin60°=.5.设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则可以计算出A,B两点间的距离为.答案50m解析由题意,易得B=30°.由正弦定理,得=,∴AB===50(m).6.一船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75°,距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则此船航行的速度为海里/小时.答案解析如图,由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.在△PMN中,=,∴MN
5、=68×=34海里.又由M到N所用的时间为14-10=4小时,∴此船的航行速度v==海里/小时.考点一 测量距离问题命题方向命题视角两点间可视但有一点不可到达的距离正弦定理的应用两点不相通的距离余弦定理的应用两点都不可到达的距离正弦定理和余弦定理的综合应用考点突破典例1如图所示,A,B两点顺一条河的两岸,测量者在A的同侧,且B点不可到达,要测出A,B的距离,其方法是在A所在的岸边选定一点C,可以测出A,C的距离m,再借助仪器,测出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC中,运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC
6、=60m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,则A,B两点间的距离为m.命题方向一 两点间可视但有一点不可到达的距离答案20解析∠ABC=180°-75°-45°=60°,所以由正弦定理得,=,∴AB===20(m).即A,B两点间的距离为20m.典例2如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法是先选定适当的位置C,用经纬仪测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离,即AB=.若测得CA=400m,CB=600m,∠ACB=60°,则A,B两点的距离为m.命题方向二 两点不
7、相通的距离答案200解析在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,∴AB2=4002+6002-2×400×600cos60°=280000.∴AB=200(m).即A,B两点间的距离为200m.典例3如图,A,B两点在河的同侧,且A,B两点均不可到达,要测出A,B的距离,测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CD=a,同时在C,D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中,由正弦定理分别计算出AC和BC,再在△ABC中,应用
8、余弦定理计算出AB.若测得CD=km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,则A,B两点间的距离为km.命题方向三 两点都不可到达的距离答案解析∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,∠ACD=60°,∴∠DAC=60°,∴AC=DC=(km).在△BCD中,∠DBC=45°,由正弦定理,得BC=·sin∠BDC=·sin30°=.在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2
